சமன்பாடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
சமக்குறியீட்டின் முதல் பயன்பாடு. இதற்குச் சமானமான தற்போதையச் சமன்பாடு: 14x+15=71 [1]

கணிதத்தில் சமன்பாடு அல்லது ஈடுகோள் (equation) என்பது இரு கோவைகள் சமமானவை என்பதை உறுதிப்படுத்தும் ஒரு கூற்று.[2] ஒரு சமன்பாட்டில், சமமான இரு கோவைகளுக்கு இடையே சமக்குறியிட்டு (=) எழுதுவது அண்மைக்கால வழக்கமாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • 2 + 3 = 5 என்பது ஒரு எண்கணிதச் சமன்பாடு. இதனை 2 கூட்டல் 3 ஈடு 5 என்று படிக்கலாம், அல்லது 2 கூட்டல் 3 சமம் 5 என்று படிக்கலாம். அதே போல 2 + 4 = 3 x 2 என்பதும் ஒரு சமன்பாடு. ம = 6 என்றால் ம3 = 216 என்பனவும் சமன்பாடுகள் (ஈடுகோள்கள்).
  • x + 3 = 5\, என்பது ஒரு எளிய இயற்கணிதச் சமன்பாடு.

இச்சமன்பாடு, x+3 மற்றும் 5, இவையிரண்டும் சமம் என்பதைக் குறிக்கிறது.

 = \, எனும் சமக்குறியீடு, வேல்சு கணிதவியலாளர் ராபர்ட் ரெக்கார்டால் (1510–1558) கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஒரேயளவு நீளம் கொண்ட இரு இணைகோடுகளை விட வேறெவையும் சமமானவையாக அமைய முடியாது என்பது ராபர்ட் ரெக்கார்டின் கருத்து.

மாறிகளும் மாறிலிகளும்[தொகு]

மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்களுக்கும் மதிப்பறியப்படாத கணியங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகளை சமன்பாடுகள் தருகின்றன. மதிப்பறியப்படாத கணியங்கள் x, y, z, w, … எனும் முடிவிலமையும் ஆங்கில எழுத்துக்களாலும், மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்கள் a, b, c, d, … எனும் ஆரம்ப ஆங்கில எழுத்துக்களாலும் குறிக்கப்படுகின்றன. மதிப்பறியப்படாத கணியங்கள் மாறிகள் எனவும் மதிப்பறியப்பட்ட கணியங்கள் மாறிலிகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு சமன்பாட்டிலுள்ள மாறிகளை, அதிலுள்ள மாறிலிகள் மூலமாகக் காண்பது அச்சமன்பாட்டினைத் தீர்த்தல் அல்லது தீர்வு காணல் எனப்படும். ஒரு மாறியில் அமைந்த சமன்பாட்டில் அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அம்மாறியின் மதிப்பு, அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது மூலம் எனப்படும். ஒருங்கமைந்த ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுதியிலுள்ள சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்திருக்கும். அச்சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வாகும்.

சமன்பாடுகளின் வகைகள்[தொகு]

சமன்பாடுகளிலுள்ள செயலிகளின் வகைகள் மற்றும் கணியங்களைப் பொறுத்து அவற்றை வகைப்படுத்தலாம்.

சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகள்:

முற்றொருமைகள்[தொகு]

ஒரு சமன்பாட்டில் அமைந்துள்ள மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் அச்சமன்பாடு உண்மையானதாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு முற்றொருமை என அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

x -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமன்பாடு உண்மையாவதால் அது ஒரு முற்றொருமையாகும்.

x  (x-1) = x^2-x\,.

ஆனால் சமன்பாடுகள் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாக அமையும். அக்குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் ஆகும்.[3] ஒரு சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்பை அச்சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

x^2-x = 0\,.
x(x-1) = 0\,.

இச்சமன்பாடு, x -ன் இரண்டு மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

x=0 மற்றும் x=1.

பல கணிதவியலாளர்கள் [3] சமன்பாட்டிற்கும் முற்றொருமைக்கும் உள்ள வேறுபாட்டை உணர்த்தும் வகையில் இரண்டாவதைக் குறிப்பதற்கு மட்டுமே சமன்பாடு என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்துகின்றனர். சமன்பாட்டிற்கும் முற்றொருமைக்கும் உள்ள வேறுபாடு நுட்பமானது.

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\, என்பது முற்றொருமை
(x + 1)^2 = 2x^2 + x + 1\, என்பது சமன்பாடு.

இதன் தீர்வுகள்:

x=0 மற்றும் x=1.

ஒரு கூற்று முற்றொருமையா அல்லது சமன்பாடா என்பதனை அது கூறப்படும் சூழலைக் கொண்டு தீர்மானிக்கலாம். சில இடங்களில் சமன்பாட்டிற்கு சமக்குறியையும் (=) முற்றொருமைக்கு சமானக் குறியையும் (\equiv) பயன்படுத்துவதன் மூலம் இரண்டுக்குமான வேறுபாடு காட்டப்படுகிறது.

ஆரம்ப ஆங்கில எழுத்துக்கள் a, b, c... மாறிலிகளையும் முடிவிலுள்ள ஆங்கில எழுத்துக்கள் ...x, y, z மாறிகளையும் குறிக்கும் வழக்கம் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ரெனே டேக்கார்ட்டால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

பண்புகள்[தொகு]

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் ஒரு சமன்பாடு உண்மையானதாக இருக்குமானால் பின்வரும் செயலிகளைப் பயன்படுத்தி மற்றொரு உண்மைச் சமன்பாட்டினை உருவாக்கலாம்:

  1. எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூட்டலாம்.
  2. எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கழிக்கலாம்.
  3. எந்தவொரு மெய்யெண்ணைக் கொண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கலாம்.
  4. பூச்சியமற்ற எந்தவொரு மெய்யெண்ணைக் கொண்டும் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வகுக்கலாம்
  5. சில சார்புகளைச் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் செயல்படுத்தலாம். அவ்வாறு செய்யும்போது சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் இல்லாமல் போவதற்கோ அல்லது புறம்பான தீர்வுகள் ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்புகள் உண்டு என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, yx=x சமன்பாட்டிற்கு y=1 ( x -ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) மற்றும் x=0 (y-ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) என இரு தீர்வுகள் உள்ளன.

இச்சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வர்க்கம் காணக் (அதாவது இருபுறமும் f(s)=s^2 என்ற சார்பைச் செயல்படுத்த) கிடைக்கும் புதிய சமன்பாடு:

(xy)^2=x^2,

இச்சமன்பாட்டிற்கு பழைய தீர்வுகள் மட்டுமல்லாது கூடுதலாக y=-1 ( x -ன் எந்த மதிப்பிற்கும்) என்ற தீர்வும் உள்ளது.


  • சமன்பாடுகளின் மீதான இச்செயல்பாடுகள் அனைத்தும் மெய்யெண்களுக்குப் பொருந்தும்.
  • சமன்பாடுகள் இயல் எண்களில் அமைந்திருந்தால் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்கள் பொருந்தாது. ஏனென்றால் இயல் எண் கணத்தில் எதிரெண்களும் பின்ன எண்களும் கிடையாது.
  • முழு எண்களைச் சார்ந்த சமன்பாடுகளுக்கு வகுத்தல் செயல் பொருந்தாது. ஏனென்றால் முழு எண் கணத்தில் பின்ன எண்கள் இல்லை.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. The Whetstone of Witte by Robert Recorde (1557).
  2. "Equation". Dictionary.com. Dictionary.com, LLC. பார்த்த நாள் 2009-11-24.
  3. 3.0 3.1 Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's fabulous formula: cures many mathematical ills. Princeton: Princeton University Press. p. 3. ISBN 0-691-11822-1. 

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

  • Winplot: General Purpose plotter which can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
  • Mathematical equation plotter: Plots 2D mathematical equations, computes integrals, and finds solutions online.
  • Equation plotter: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (x and y).
  • EqWorld—contains information on solutions to many different classes of mathematical equations.
  • EquationSolver: A webpage that can solve single equations and linear equation systems.

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சமன்பாடு&oldid=1344020" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது