தொகையீட்டுச் சமன்பாடு
கணிதத்தில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடு (integral equation) என்பது தெரியாத சார்பைத் தொகையீட்டுக் குறியீட்டின்கீழ் கொண்ட ஒரு கணிதச் சமன்பாடாகும். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் நெருங்கிய தொடர்புள்ளது.
கண்ணோட்டம்
[தொகு]- மிக அடிப்படையான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடுகள் (Fredholm equation) ஆகும்.
முதல் வகை :
இங்கு,
- φ -தெரியாத ஒரு சார்பு
- K -இருமாறிகளில் அமைந்த தெரிந்த சார்பு. இச்சார்பு பெரும்பாலும் கெர்னல் சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது.
- தொகையீட்டு எல்லைகள் இரண்டும் மாறிலிகள்
இரண்டாம் வகை:
இவ்வகையில் தொகையீட்டுக்குறிக்கு உள்ளும் புறமும் தெரியாத சார்புகள் அமையும்.
இங்கு λ தெரியாத காரணி.
- தொகையீட்டின் எல்லைகள் இரண்டும் சார்புகளாக இருந்தால் மேலே தரப்பட்டுள்ள இரு சமன்பாடுகளும் வோல்டரா தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகை சமன்பாடுகளாக (Volterra integral equation) மாறும்.
மேலே தரப்பட்ட நான்கிலும் சார்பு f பூச்சியத்துக்கு ஒப்பானால் சமன்பாடுகள் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் பூச்சியமாக இல்லையெனில் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
வகைப்பாடு
[தொகு]தொகையீட்டில் எல்லைகள், தெரியாத சார்பு இடம்பெறும் நிலை மற்றும் தெரிந்த சார்பின் தனமை ஆகிய மூன்று கருத்துக்களைக் கொண்டு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எட்டு வகைச் சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம்:
- தொகையீட்டு எல்லைகள்
- இரண்டும் மாறிலிகள்: ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடு
- ஒரு மாறி: வோல்டெர்ரா சமன்பாடு
- தெரியாத சார்புகள் அமையும் இடம்
- தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்: முதல் வகை
- தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்ளும் வெளியிலும்: இரண்டாம் வகை
- தெரிந்த சார்பு f -ன் தன்மை
- பூச்சியம்: சமபடித்தானது
- பூச்சியம் அல்ல: அசமபடித்தானது
தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமான பல பயன்பாடுகள் கொண்டவை. கதிரியக்கச் சக்தி மாற்றல், கம்பி, அச்சு, சவ்வு போன்றவற்றின் அலைவு ஆகியவற்றில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. அலைவு கணக்குகளுக்கு வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மூலமாகவும் தீர்வு காணப்படலாம்.
சார்பு φ(x) -ன் நேரியல் தன்மையால், ஃபிரெதோல்ம் மற்றும் வோல்டெர்ரா சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகள்.
நேரியலற்ற வோல்டெர்ரா தொகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்:
- ,
இங்கு தெரியாத சார்பு -F.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
- Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8493-2876-4.
- E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
- M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-88068-8.
வெளி இணைப்புகள்
[தொகு]- Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.