உள்ளடக்கத்துக்குச் செல்

விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.

இயற்கணிதத்தில் விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது p/q தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, p/q theorem)

( , ) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளை விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது p/q தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, p/q theorem
( , பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

தேற்றத்தின் கூற்று: மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள் x = pq ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது p , q இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள்) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:

  • மாறிலி உறுப்பு a0 இன் முழுவெண் வகுத்தியாக p இருக்கும்.
  • முதன்மைக் கெழு an இன் முழுவெண் வகுத்தியாக q இருக்கும்.

பயன்பாடு[தொகு]

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம் x = r கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம் (xr) காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.

முப்படிச் சமன்பாடு[தொகு]

முப்படிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்

(கெழுக்கள் முழு எண்கள்)

இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு r என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், (xr) காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை இருபடி வாய்பாடு கொண்டு காணலாம்.

நிறுவல்[தொகு]

()

இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் p/q. அதாவது P(p/q) = 0 (p, q இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள், p, q) எனில்:

இருபுறமும் qn ஆல் பெருக்க:

  • a0 உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி pயை வெளியிலெடுக்க:

எனவே p ஆனது a0qn ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் p, q இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால் p ஆனது, qn ஐ வகுக்காது. எனவே p ஆனது மீதியுள்ள காரணி a0யை வகுக்கும்.

  • இதேபோல an உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி qயை வெளியிலெடுக்க:

மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும் q ஆனது anயை வகுக்கும்.[1]


எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

எடுத்துக்காட்டு 1:

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:

±1/2 , ±1

ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 2:

இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6.

இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3 இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில விகிதமுறா மூலங்களாகவும் அமையலாம்).

அடிக்குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-340-54335-3.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=விகிதமுறு_மூலத்_தேற்றம்&oldid=3362314" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது