சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு சதுர அணியின் சுவடு (trace) என்பது அச்சதுர அணியின் முதன்மை மூலைவிட்டத்தின் உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

A ஒரு n x n சதுர அணி எனில் அதன் சுவட்டின் வரையறை:

$\operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii},($a_ii ஆனது A அணியில் i ஆவது நிரை மற்றும் i ஆவது நிரலிலுள்ள உறுப்பு)

சதுர அணிகளுக்கு மட்டுமே சுவடு வரையறுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு

$A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

A இன் சுவடு:

$\operatorname {tr} (A)=a+e+i$.

பண்புகள்

• சுவடு ஒரு நேரியல் கோப்பு ஆகும்.

A , B சதுர அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில்:

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$,

$\operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)$.

• ஒரு சதுர அணியின் சுவடும் இடமாற்று அணியின் சுவடும் சமமாக இருக்கும்.

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })$.

• இரு அணிகளின் பெருக்கல் அணியின் சுவடு:

$\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$.

$\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\sum _{ij}(X\circ Y)_{ij}$ (ஆடமார்டு பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி).

$\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {vec} (Y)^{\mathrm {T} }\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (X)^{\mathrm {T} }\operatorname {vec} (Y)$

A ஒரு m×n அணி; B ஒரு n×m அணி எனில்:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$.

• அணிகளின் பெருக்கலில் அணிகளின் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் சுவடு மாறுவதில்லை:

$\operatorname {tr} (ABCD)=\operatorname {tr} (BCDA)=\operatorname {tr} (CDAB)=\operatorname {tr} (DABC)$.

சாதாரண வரிசைமாற்றத்தில் இது உண்மையாகாது:

$\operatorname {tr} (ABC)\neq \operatorname {tr} (ACB)$.

எனினும் பெருக்கப்படும் அணிகள் மூன்றும் சமச்சீர் அணிகள் எனில் எல்லா வரிசைமாற்றங்களின் கீழும் சுவடு மாறாது:

tr(ABC) = tr(A^T B^T C^T) = tr(A^T(CB)^T) = tr((CB)^TA^T) = tr((ACB)^T) = tr(ACB)

மூன்றுக்கு மேற்பட்ட அணிகளைப் பெருக்கினால் இது உண்மையாகாது.

மேலும் சில பண்புகள்:

• $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$,
• $\operatorname {tr} (cA)=c\cdot \operatorname {tr} (A)$,
• $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$,
• A ஒரு சமச்சீர் அணி; B ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

$\operatorname {tr} (AB)=0$.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Matrix Trace." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104