சுருள்வு அணி

கணிதத்தில் சுருள்வு அணி அல்லது சுருள் அணி (involutory matrix) என்பது தனக்குத்தானே நேர்மாறு அணியாக உள்ள ஒரு அணியாகும். A² = I ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியால் பெருக்குவது ஒரு சுருள்வாக இருக்கும். ஒரு அணி மற்றும் அதன் நேர்மாறு அணி இரண்டின் பெருக்கல் முற்றொருமை அணியாக இருக்கும் என்பதால், சுருள்வு அணிகள் எல்லாம் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களாக (அணிகளின் வர்க்கமூலம்) அமையும்.^[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

$a^{2}+bc=1$ எனில், மெய்யெண்களாலான 2 × 2 அணி ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ ஒரு சுருள்வு அணியாக இருக்கும். ^[2]

சுருள்வு அணிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:

{\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}

இவற்றில்,

I முற்றொருமை அணி

R -ஒரு சோடி நிரல்கள் பரிமாற்றப்பட்ட முற்றொருமை அணி

சமச்சீர்[தொகு]

ஒரு சுருள்வு அணியானது சமச்சீர் அணியாகவும் இருந்தால் அவ்வணி ஒரு செங்குத்து அணியாகவும் இருக்கும். மறுதலையாக செங்குத்து அணியாகவும் உள்ள ஒவ்வொரு சுருள்வு அணியும் சமச்சீர் அணியாகவும் இருக்கும்.^[3] இதன் சிறப்புவகையாக ஒவ்வொரு எதிரொளிப்பு அணியும் சுருள்வு அணியாக இருக்கும்.

பண்புகள்[தொகு]

எந்தவொரு களத்திலமைந்த சுருள்வு அணிக்கும் அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு ±1 ஆக இருக்கும்.^[4]

½(A + I) என்பது ஒரு தன்னடுக்கு அணியாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, n × n வரிசையணி A ஒரு சுருள்வு அணியாகும். இதனால் சுருள்வு அணிகளுக்கும் தன்னடுக்கு அணிகளுக்கும் இடையே ஒரு இருவழிக்கோப்பு அமைகிறது.^[4]

A , B இரு சுருள்வு அணிகள் மற்றும் AB = BA ஆக இருந்தால், AB அணியும் சுருள்வு அணியாகும்.

A ஒரு சுருள்வு அணி எனில் அதன் ஒவ்வொரு அடுக்கும் சுருள்வு அணியாக இருக்கும். :n ஒற்றை எண் எனில், Aⁿ = A

n இரட்டை எண் எனில், Aⁿ = I

மேற்கோள்கள்[தொகு]

↑ Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.
↑ Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9
↑ Govaerts, Willy J. F. (2000), Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), p. 292, doi:10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704.
↑ ^4.0 ^4.1 Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2nd ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.

[higham-1] Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.

[2] Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9

[3] Govaerts, Willy J. F. (2000), Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), p. 292, doi:10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704.

[bernstein-4] 4.0 ^4.1 Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2nd ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.

[1]

[2]

[3]

[4]