உட்குலத்தின் குறியெண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

குலக் கோட்பாட்டில் G என்ற குலத்தின் உட்குலம் H இன் குறியெண் (Index) என்பது G இல் இருக்ககூடிய H இன் இணைக்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். G இல் H இன் குறியெண்ணின் குறியீடு: |G : H| அல்லது [G : H] அல்லது (G:H). ஒரு உட்குலத்தின் குறியெண் முடிவுறு அல்லது முடிவுறா எண்ணாக அமையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: Z , முழு எண்களின் கணம் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து ஒரு குலம். அதன் ஒரு உட்குலம் 2Z (இரட்டை முழு எண்களின் கணம்). Z இல் உட்குலம் 2Z க்கு இரண்டு இணைக்கணங்கள் உள்ளன. (ஒன்று இரட்டை முழு எண்கள் கணம். மற்றது ஒற்றை எண்களின் கணம்).

எனவே Z இல் 2Z இன் குறியீடு:

|\mathbf{Z}:2\mathbf{Z}| = 2

பொதுவாக,

|\mathbf{Z}:n\mathbf{Z}| = n, இங்கு n ஏதேனும் ஓர் நேர் முழு எண்.

N என்பது குலம் G இன் இயல்நிலை உட்குலம் எனில், G இல் N இன் குறியெண் காரணி குலம் G / N இன் வரிசைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

G ஒரு முடிவுறா குலம் எனில் அதன் ஒரு உட்குலம் H இன் குறியெண் ஒரு பூச்சியமில்லா முதல் எண் (cardinal number). மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டிலுள்ளபடி அம் முதல் எண் ஒரு முடிவுறு எண்ணாகவும் இருக்கலாம்.

G , H இரண்டும் முடிவுறு குலங்கள் எனில் G இல் H இன் குறியெண்:

|G:H| = \frac{|G|}{|H|}.

இது லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் முடிவாகும். இக்குறியெண் கண்டிப்பாக ஒரு நேர் முழுஎண்.

பண்புகள்[தொகு]

உட்குலத்தின் குறியெண்ணின் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

  • G இன் உட்குலம் H ; H இன் உட்குலம் K எனில்
|G:K| = |G:H|\,|H:K|.
  • H ,K இரண்டும் G இன் உட்குலங்கள் எனில்:
|G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|,
இங்கு HK = G எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|G : H ∩ K| முடிவுறு எண் எனில், HK = G என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)
  • இதற்கு சமானமாக:

H ,K இரண்டும் G இன் உட்குலங்கள் எனில்:

|H:H\cap K| \le |G:K|,
இங்கும் HK = G எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|G : H ∩ K| முடிவுறு எண் எனில், HK = G என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)
|G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • செங்குத்து குலம் O(n) இல் அதன் உட்குலமான சிறப்பு செங்குத்து குலம் SO(n) இன் குறியெண் 2. எனவே அது ஒரு இயல்நிலை உட்குலம்.
\{(x,y) \mid x\text{ is even}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ is even}\},\quad\text{and}\quad
\{(x,y) \mid x+y\text{ is even}\}.
  • பொதுவாக, p ஒரு பகா எண் எனில், Zn குலத்திற்கு, குறியெண் p கொண்ட (pn − 1) / (p − 1) எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
  • இதேபோல் கட்டற்ற குலம் Fn க்கு, குறியெண் p உடைய pn − 1 எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=உட்குலத்தின்_குறியெண்&oldid=1428638" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது