குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணிதத்தில், குலம்(Group) என்ற கணித அமைப்பு ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். ஒரு முடிவுறு கணம் , அதனில் சேர்ப்பு விதிக்குட்பட்ட ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி, இவையிரண்டும் கொடுக்கப்பட்டு, அச்செயலிக்கு ஒரு முற்றொருமையும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு நேர்மாறும் இருந்துவிட்டால் அவ்வமைப்பு முடிவுறு குலம் எனப்படும். அப்பொழுது, -இன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அக் குலத்தின் கிரமம் (Order of the Group) எனப்படும்.

ஒரு குலத்தின் அடித்தளக்கணம் முடிவுறாக் கணமானால், அக்குலம் முடிவுறாக் குலம் எனப்படும்.

ஓர் உறுப்பின் கிரமம்[தொகு]

ஒரு குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கிரமம் வரையறுக்கப்படலாம். ஓர் உறுப்பு -இன் கிரமம் என்பது, என்ற சமன்பாட்டுக் குகந்தபடி உள்ள மீச்சிறு என்ற எண்ணிக்கை.

எ.கா. என்ற சமச்சீர் குலத்தைப் பார். இதன் கிரமம் 6. இதன் ஆறு உறுப்புகள்:

இதனில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் 2-வது அடுக்கு ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 2.

அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளின் 3-வது அடுக்கு ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 3.

-இன் கிரமம் 1.

சுழற்குலத்தின் கிரமம்[தொகு]

ஒரு சுழற்குலமானால் அது, என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு என்பது அச்சுழற்குலத்தின் பிறப்பி. எந்த எண் க்காவது யாக இருக்குமானால், -இன் மீச்சிறு மதிப்பு, -இனுடைய கிரமம். அதுவே சுழற்குலத்தின் கிரமமுமாகும்.

ஆக, ஒரு முடிவுறு சுழற்குலத்தின் கிரமமும் அதன் பிறப்பியின் கிரமமும் ஒன்றே.

எந்த எண் க்கும் உண்மையல்லவென்றால், அக்குலம் ஒரு முடிவுறா சுழற்குலமாகும்.