இயல்நிலை உட்குலம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் இயல்நிலை உட்குலம் (Normal subgroup) குலக்கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கிய கருத்து. G என்ற குலத்திலுள்ள H என்ற ஓர் உட்குலத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அதன் இணையியங்கள் எல்லாம் அதனுள்ளேயே இருந்தால் அவ்வுட்குலம் ஓர் இயல்நிலை உட்குலமாகும். முதன்முதலில் கால்வா இக்கருத்தைப் பயன்படுத்தினார்.

உள் தன்னமைவியம்[தொகு]

G ஒரு குலம் என்றும் அதனில் g ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பாகவும் கொள்வோம்.

இப்பொழுது Autg இன் இலக்கணம்:

Autg :  G\rightarrow G
 a \mapsto gag^{-1}
அதாவது ஒவ்வொரு  a \in G க்கும் Autg(a) =gag^{-1} .
Autg ஓர் உள் தன்னமைவியம் (Inner Automorphism) எனப்படும். இன்னும் துல்லியமாகச்சொல்லவேண்டுமானால், இதை g இனால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட உள் தன்னமைவியம் என்றே சொல்ல வேண்டும்.

இயல்நிலை உட்குலத்தின் வரையறை[தொகு]

ஒரு குலம் G இன் உட்குலம் H ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் என்று சொல்லப்படவேண்டுமானால்,G இன் ஒவ்வொரு உள் தன்னமைவியத்திற்கும் H மாறுபடாமல் இருக்கவேண்டும். வேறு விதமாகச்சொன்னால், கீழேயுள்ள பண்பு உடைத்ததாய் இருக்கவேண்டும்:
G இலுள்ள எல்லா g க்கும்  gHg^{-1} = H
அல்லது, இன்னும் குறைவாக G இலுள்ள எல்லா g க்கும்  gHg^{-1}\subseteq  H என்றிருந்தால் போதும்.
அல்லது, H இலுள்ள ஒவ்வொரு hக்கும் Gஇலுள்ள எந்த g யையும் பயன்படுத்தி, இணையியம் கணக்கிட்டாலும் அது Hக்குள்ளேயே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

1. நான்கு உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றக்குலத்தில் மாறிசைக்குலமாக இருக்கும் A4 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் 12 உறுப்புகள் உள்ளன. அவையெல்லாம் நான்கு உறுப்புகளின் இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். H =A4 , G = S4,இல் ஓர் இயல் நிலைக்குலம் என்று கண்டுகொள்ளலாம். சில மாதிரிக்கணித்தல்கள்:
(234) {(14)(23)} (243) = (12)(34) ஆகையால், (12)(34), (234) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம்.
(1324){(14)(23)} = (13)(24) ஆகையால், (13)(24), (1324) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம்.
2. A4க்குள் நான்முகிக் குலம் V ஓர் இயல்நிலைக்குலமாகும்.
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இயல்நிலை_உட்குலம்&oldid=1410863" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது