கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில் , குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில் , இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.
இணையியம் [ தொகு ] G ஒரு குலம் என்று கொள்க.
b
∈
G
,
a
∈
G
{\displaystyle b\in G,a\in G}
இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:
ஏதாவதொரு
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
b
=
g
a
g
−
1
{\displaystyle b=gag^{-1}}
எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
{
g
a
g
−
1
:
g
∈
G
}
{\displaystyle \{gag^{-1}:g\in G\}}
C
l
(
a
)
.
{\displaystyle Cl(a).}
அவதானக் குறிப்பு [ தொகு ] இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு
b
=
g
a
g
−
1
{\displaystyle b=gag^{-1}}
'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான்
g
a
g
−
1
{\displaystyle gag^{-1}}
வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள் [ தொகு ]
S
3
{\displaystyle S_{3}}
(
b
)
(
c
a
)
,
{\displaystyle (b)(ca),}
(
a
)
(
b
c
)
{\displaystyle (a)(bc)}
g
=
(
c
)
(
a
b
)
{\displaystyle g=(c)(ab)}
(
(
c
)
(
a
b
)
)
(
(
a
)
(
b
c
)
)
(
(
c
)
(
a
b
)
)
−
1
{\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab))^{-1}}
=
(
(
c
)
(
a
b
)
)
(
(
a
)
(
b
c
)
)
(
(
c
)
(
a
b
)
)
;
{\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab));}
=
(
(
c
)
(
a
b
)
)
(
a
c
b
)
;
{\displaystyle ((c)(ab))(acb);}
a
→
b
→
c
,
b
→
a
→
a
,
c
→
c
→
b
.
{\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow a,c\rightarrow c\rightarrow b.}
=
(
b
)
(
a
c
)
{\displaystyle (b)(ac)}
a
→
c
→
c
,
b
→
a
→
b
,
c
→
b
→
a
.
{\displaystyle a\rightarrow c\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow b,c\rightarrow b\rightarrow a.}
மறுபடியும்,
S
3
{\displaystyle S_{3}}
C
l
(
(
c
)
(
a
b
)
)
=
{
(
c
)
(
a
b
)
,
(
b
)
(
a
c
)
,
(
a
)
(
b
c
)
}
{\displaystyle Cl((c)(ab))=\{(c)(ab),(b)(ac),(a)(bc)\}}
C
l
(
a
b
c
)
=
{
(
a
b
c
)
,
(
a
c
b
)
}
{\displaystyle Cl(abc)=\{(abc),(acb)\}}
இணையியமும் சுழலமைப்பும் [ தொகு ] தேற்றம் :
S
n
{\displaystyle S_{n}}
சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.
முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.
அதாவது வரிசைமாற்றங்கள்
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
σ
τ
−
1
{\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}}
τ
σ
τ
−
1
{\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}}
(
i
τ
(
i
)
)
(
i
σ
(
i
)
)
(
τ
(
i
)
i
)
=
(
τ
(
i
)
τ
σ
(
i
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}i\\\tau (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i\\\sigma (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau (i)\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tau (i)\\\tau \sigma (i)\end{pmatrix}}}
σ
{\displaystyle \sigma }
மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ,
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
∗
{\displaystyle \sigma ^{*}}
σ
=
(
a
1
.
.
.
a
r
)
(
b
1
.
.
.
b
s
)
(
c
1
.
.
.
c
t
)
.
.
.
(
f
1
)
(
f
2
)
.
.
.
(
f
q
)
{\displaystyle \sigma =(a_{1}...a_{r})(b_{1}...b_{s})(c_{1}...c_{t})...(f_{1})(f_{2})...(f_{q})}
σ
∗
=
(
a
1
∗
.
.
.
a
r
∗
)
(
b
1
∗
.
.
.
b
s
∗
)
(
c
1
∗
.
.
.
c
t
∗
)
.
.
.
(
f
1
∗
)
(
f
2
∗
)
.
.
.
(
f
q
∗
)
{\displaystyle \sigma ^{*}=(a_{1}^{*}...a_{r}^{*})(b_{1}^{*}...b_{s}^{*})(c_{1}^{*}...c_{t}^{*})...(f_{1}^{*})(f_{2}^{*})...(f_{q}^{*})}
இப்பொழுது,
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
∗
{\displaystyle \sigma ^{*}}
τ
{\displaystyle \tau }
τ
(
a
i
)
=
a
i
∗
,
i
=
1
,
.
.
.
,
r
{\displaystyle \tau (a_{i})=a_{i}^{*},i=1,...,r}
τ
(
b
i
)
=
b
i
∗
,
i
=
1
,
.
.
.
,
s
{\displaystyle \tau (b_{i})=b_{i}^{*},i=1,...,s}
τ
(
c
i
)
=
c
i
∗
,
i
=
1
,
.
.
.
,
t
{\displaystyle \tau (c_{i})=c_{i}^{*},i=1,...,t}
.....
τ
(
f
i
)
=
f
i
∗
,
i
=
1
,
.
.
.
,
q
{\displaystyle \tau (f_{i})=f_{i}^{*},i=1,...,q}
ஆகக்கூடி, இப்பொழுது,
τ
σ
τ
−
1
=
σ
∗
{\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{*}}
∴
σ
{\displaystyle \therefore \sigma }
σ
∗
{\displaystyle \sigma ^{*}}
இவற்றையும் பார்க்கவும் [ தொகு ] இயல்நிலை உட்குலம் 
