காப்பமைவியம் (கணிதம்)

கணிதத்தில், முக்கியமாக நுண்புல இயற்கணிதத்தில், அமைவியம் (Morphism) என்பது கணித அமைப்புகளுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. அமைப்பை சிதறாமல் காக்கக்ககூடிய அமைவியத்திற்கு காப்பமைவியம் (Homomorphism) என்று பெயர். இவையிரண்டுமே நுண்புலக் கருத்துக்கள். இவைகள் கணிதக் கண்டிப்புடன் வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் நாம் விகுதிக் கோட்பாடுக்கும் (Category Theory), அனைத்தியற்கணிதத்துக்கும் (Universal Alagebra) செல்லவேண்டும். இக்கட்டுரையில், இதற்குக்கீழ்ப்படியில், குறிப்பிட்ட கணித அமைப்புகளுக்கே இவை பேசப்படுகின்றன.

குலம் காப்பமைவியம்

இது ஆங்கிலத்தில் Group Homomorphism எனப்படும். இரண்டு குலங்கள் G, H என்றும், அவைகளில் செயலிகள் முறையே *₁, *₂ என்றும் கொண்டால்,

$f:G\rightarrow H$ ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

$G$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $a,b$ க்கும் $f(a*_{1}b)=f(a)*_{2}f(b)$

விளைவுகள்

• $G,H$ இவைகளுடைய முற்றொருமை உறுப்புக்களை முறையே $e_{G},e_{H}$ என்று கொண்டால், $f(e_{G})=e_{H}$. ஏனென்றால்,

$e_{H}=f(e_{G})*_{2}(f(e_{G}))^{-1}$

$=f(e_{G}*_{1}e_{G})*_{2}((f(e_{G}))^{-1}$

$=f(e_{G})*_{2}f(e_{G})*_{2}((f(e_{G}))^{-1}$

$=f(e_{G})$

இதன் பொருள்: காப்பமைவியம் முற்றொருமையை முற்றொருமைக்கே எடுத்துச்செல்கிறது.

• $a\in G$ என்று கொள். இப்பொழுது, $f(a^{-1})=((f(a))^{-1}$, ஏனென்றால்,

$f(a^{-1})=f(a^{-1})*_{2}e_{H}$

$=f(a^{-1})*_{2}f(a)*_{2}(f(a))^{-1}$

$=f(a^{-1}*_{1}a)*_{2}((f(a))^{-1}$

$=f(e_{G})*_{2}((f(a))^{-1}$

$=e_{H}*_{2}((f(a))^{-1}$

= $((f(a))^{-1}.$

இதன் பொருள்: காப்பமைவியமும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது பரிமாறிக்கொள்கின்றன. அதாவது,

நேர்மாறின் காப்பமைவிய பிம்பம் = காப்பமைவிய பிம்பத்தின் நேர்மாறு.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$x\mapsto 2x$

இது கூட்டல் குலம் $\mathbf {R}$ இலிருந்து அதற்கே செல்லும் ஒரு குலம் காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்

$f(a+b)=2(a+b)=f(a)+f(b).$

• $ln:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R}$

$x\mapsto lnx$

இது பெருக்கல் குலம் $\mathbf {R} ^{+}$ இலிருந்து கூட்டல் குலம் $\mathbf {R}$ க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,

$ln(a\times b)=lna+lnb$

• $exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}$

$x\mapsto e^{x}$

இது கூட்டல் குலம் $\mathbf {R}$ இலிருந்து பெருக்கல் குலம் $\mathbf {R} ^{+}$ க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்

$e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}$

• $\mathbf {R} \rightarrow$ அலகுவட்டம் $\{z\in \mathbf {C} :|z|=1\}$

$\theta \mapsto e^{i\theta }$

இது இடது பக்கத்து கூட்டல் குலத்திலிருந்து வலது பக்கத்து பெருக்கல் குலத்திற்குச் செல்லும் ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,

$e^{i(\theta +\phi )}=e^{i\theta }\times e^{i\phi }$

• ஒரு சமபக்க நான்முகியில், ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்முகத்திற்குப்போகும் அச்சைச்சுற்றிப்போகும் சுழற்சிகளில் மூன்று சுழற்சிகள் $(0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ })$ நான்முகிவடிவத்தை இடமாற்றாது. இம்மூன்று சுழற்சிகளும் சுழற்சிச்சேர்வைக்கு ஒரு குலமாகிறது. இது {0, 1, 2} என்ற modulo 3 கூட்டல் குலத்திற்கு காப்பமைவியம் உள்ளதாக இருக்கும்.
• சமச்சீர் குலம் $S_{n}$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் $C_{2}=\{+1,-1\}$ க்கும் இடையில் $\chi$ என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

$\chi :S_{n}\rightarrow \{+1,-1\}$

$A\mapsto sgn(A)$

இது ஒரு காப்பமைவியம்.

வளையம் காப்பமைவியம்

இது Ring Homomorphism. $(X,+_{1},\circ _{1})(Y,+_{2},\circ _{2})$ இரண்டு வளையங்கள் என்று கொண்டால்,

$f:X\rightarrow Y$ ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

$X$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $a,b$ க்கும் , $f(a+_{1}b)=f(a)+_{2}f(b)$, மற்றும்,

$f(a\circ _{1}b)=f(a)\circ _{2}f(b)$

விளைவுகள்

• ஒவ்வொரு வளையம் காப்பமைவியமும், $(X,+_{1}),(Y,+_{2})$ ஆகிய குலங்களுக்கிடையே ஒரு குலம் காப்பமைவியமாகவும் ஆகிறது. இதனால்

$f(0_{X})=(0_{Y});$ மற்றும்

ஒவ்வொரு $a\in X$ க்கும் $f(-a)=-f(a).$

• $kerf=\{x\in X:f(x)=0_{Y}\}$ என்ற $f$ இன் உட்கரு $X$ இல் ஒரு சீர்மமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $\mathbf {Z} \rightarrow \mathbf {Z} _{n}$

$a\mapsto a$(mod $n$)

• ${\mathcal {C}}[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$

$f\mapsto f(x_{0})$ , இங்கு $x_{0}$ என்பது $[a,b]$ யில் ஒரு நிலையான புள்ளி.

• ${\mathcal {P}}\rightarrow \mathbf {R}$

$f\mapsto f(1)$

அ-து: $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

திசையன் வெளி காப்பமைவியம்

இரண்டு அமைப்புகளும் ஒரே அளவெண்களத்தையுடைய திசையன் வெளி யாக இருக்கும் பட்சத்தில், அமைப்பைக் காக்கும் காப்பமைவியங்கள் நேரியல் கோப்பு களே.

காப்பமைவியங்களுக்குள் பாகுபாடுகள்

மேலுள்ள எல்லா சூழ்நிலையிலும், ஒரு காப்பமைவியம், கூடவே,

• முழுக்கோப்பாகவும் இருந்தால் அது முழு அமைவியம் (epimorphism) எனவும்,
• உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது ஒன்றமைவியம் (monomorphism)எனவும்,
• முழுகோப்பாகவும், உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது சம அமைவியம் (isomorphism) எனவும்,
• ஓர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயே செல்வதாயிருந்தால் அது உள்ளமைவியம் (endomorphism) எனவும்,
• ஒர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயெ செல்வதாகவும், முழுக்கோப்பாகவும், உள்ளிடு கோப்பாகவும் இருந்தால் அது தன்னமைவியம் (automorphism) எனவும் சொல்லப்படும்.