சுழற் குலம்

கணிதத்தில், குலம் என்பது ஓர் இயற்கணித அமைப்பு. எல்லா குல அமைப்புகளிலும் மிக்க எளிமையானது சுழற் குல அமைப்பு. ஒரே உறுப்பின் அடுக்குகளினால் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலத்திற்கு சுழற் குலம் (Cyclic Group) எனப்பெயர். அது ஒரு முடிவுறு குலமாகவும் இருந்தால் அதன் உறுப்புகளை

பெருக்குக்குலமானால் $a,a^{2},a^{3},...,a^{n}=e$ என்றும்,

கூட்டல் குலமானால் $a,2a,3a,...,na=e$ என்றும்,

பட்டியலிடலாம். இச்சூழ்நிலையில் $a$ என்ற உறுப்பு குலத்தின் பிறப்பி (Generator) எனப்படும்.

எப்பொழுதும் சுழற் குலம் பரிமாற்றுக்குலமே.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $\{i,-i,1,-1\},$ பெருக்கலுக்கு $i$ இனால் பிறப்பிக்கப்பட்ட ஒரு சுழற் குலமாகும்.

• $\{1,\omega ,\omega ^{2},...,\omega ^{n-1}\}.$ இவை அலகளவின் $n$-ஆவது $n$ மூலங்கள்.இந்தக்கணமும் பெருக்கலுக்கு ஒரு சுழற்குலமாகும். $\omega$ ஒரு பிறப்பி.

பண்புகள்

• ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண் $n$ க்கும் ஒரு $n$-கிரம சுழற்குலம் உள்ளது. அதை கூட்டல் குலமாகக் குறிக்கவேண்டுமானால் அதை $\mathbf {Z} /n\mathbf {Z}$ என்ற எச்சவகைக் குலமாக எழுதலாம். பெருக்கல் குலமாகக் காட்டவேண்டுமானால், $C_{n}$ என்று குறித்து $\{a,a^{2},...,a^{n}=e\}$ என்று காட்டலாம்.

• $n$ -கிரமச்சுழற்குலமெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று சம அமைவியம் (isomorphism) உள்ளவை. வேறுவிதமாகச்சொன்னால், $n$-கிரமச்சுழற்குலம் ஒன்றுதான் உளது.

• n பக்கங்களுள்ள ஓர் ஒழுங்குப் பலகோணத்தின் சுழற்சிகள் மட்டும் ஒரு சுழற்சிச் சுழற்குலத்தை உண்டாக்கும். அது $C_{n}$ க்கு சம அமைவியமுள்ளதாக இருக்கும்.