பெருக்கச் செவ்விய எண்

கணிதத்தில், பெருக்கச் செவ்விய எண் அல்லது பெருக்க நிறைவெண் (multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number) என்பது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செவ்விய எண்ணாகும்.

k ஒரு இயல் எண் எனில், n என்ற நேர்ம முழுவெண்ணின் அனைத்து நேர்ம வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை (வகுஎண் சார்பு) σ(n) = kn ஆக இருந்தால் n ஆனது k-செவ்விய அல்லது k-மடி செவ்விய எண் என அழைக்கப்படும். k இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கு k-செவ்விய எண்ணாகவுள்ள எண்கள் "பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்" என்ற பொதுப்பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.. 2014 வரையிலான கணக்கீட்டின்படி, k = 11 வரையுள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பிற்குமான k-செவ்விய எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.^[1].

ஓர் எண் n, செவ்விய எண்ணாக இருக்கத் தேவையான கட்டுப்பாடு σ(n) = 2n என்பதால், n ஆனது 2-செவ்வியதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது ஓர் செவ்விய எண்ணாகும்.

k = 1 தவிர்த்தப் பிற  ஒற்றையெண்களுக்கான பெருக்கச் செவ்விய உள்ளனவா என்பது கண்டறியப்படவில்லை.

சில துவக்க பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (OEIS-இல் வரிசை A007691)

.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

120, ஒரு 3-செவ்விய எண்ணாகும்.

120 இன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 x 120.

கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்கள்[தொகு]

கீழுள்ள அட்டவணை k ≤ 11 மதிப்புகளுக்கான கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்களைத் தருகிறது (OEIS-இல் வரிசை A007539)

k	கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்கள்	பகாக் காரணிகள்	கண்டுபிடித்தவர்
1	1		பண்டைக்காலத்தில்
2	6	2 × 3	பண்டைக்காலத்தில்
3	120	2³ × 3 × 5	பண்டைக்காலத்தில்
4	30240	2⁵ × 3³ × 5 × 7	ரெனே டேக்கார்ட், 1638
5	14182439040	2⁷ × 3⁴ × 5 × 7 × 11² × 17 × 19	ரெனே டேக்கார்ட் circa 1638
6	154345556085770649600 (21 இலக்கங்கள்)	2¹⁵ × 3⁵ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257	இராபர்ட்டு டேனியல் கார்மிக்கல், 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 இலக்கங்கள்)	2³² × 3¹¹ × 5⁴ × 7⁵ × 11² × 13² × 17 × 19³ × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479	டிஈ மேசன், 1911
8	826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 இலக்கங்கள்)	2⁶² × 3¹⁵ × 5⁹ × 7⁷ × 11³ × 13³ × 17² × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521² × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)	இசுடீபன் ஃப். கிரேட்டன், 1990^[1]
9	561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 இலக்கங்கள்)	2¹⁰⁴ × 3⁴³ × 5⁹ × 7¹² × 11⁶ × 13⁴ × 17 × 19⁴ × 23² × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)	பிரெடு ஹீலியன்சு, 1995^[1]
10	448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 இலக்கங்கள்)	2¹⁷⁵ × 3⁶⁹ × 5²⁹ × 7¹⁸ × 11¹⁹ × 13⁸ × 17⁹ × 19⁷ × 23⁹ × 29³ × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)	ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2013^[1]
11	251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 இலக்கங்கள்)	2⁴⁶⁸ × 3¹⁴⁰ × 5⁶⁶ × 7⁴⁹ × 11⁴⁰ × 13³¹ × 17¹¹ × 19¹² × 23⁹ × 29⁷ × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)	ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2001^[1]

பண்புகள்[தொகு]

கீழுள்ள பண்புகளை நிறுவக் கூடியனவாகும்:

pஒரு பகா எண்; n, ஒரு p-செவ்விய எண் மற்றும் p ஆனது n இன் வகுஎண் அல்ல எனில், pn ஒரு (p + 1)-செவ்விய எண்ணாக இருக்கும். n/2 ஆனது ஒற்றைச் செவ்விய எண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", முழுவெண் n ஆனது 2 ஆல் வகுபடக்கூடிய, ஆனால் 4 ஆல் வகுக்கமுடியாத 3-செவ்விய என்ணாக இருக்கும். ஆனால் அத்தகைய எண்கள் எதுவும் கண்டறியப்படவில்லை.

3n ஒரு 4k-செவ்விய எண்ணாகவும், 3 ஆனது n இன் வகுஎண்ணாக இல்லாமலும் இருந்தால், n, ஒரு is 3k-செவ்விய எண்ணாக அமையும்.

ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்[தொகு]

1 ஐத் தவிர வேறு ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்பது அறியப்படாததாகவே உள்ளது. இருப்பினும் ஒற்றை k-செவ்விய (k > 2) எண்ணாக n இருந்தால், அது பின்வரும் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்:^[2]

மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 100129
இரண்டாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 1009
மூன்றாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 101

k இன்சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகள்[தொகு]

செவ்விய எண்கள்[தொகு]

k = 2

σ(n) = 2n எனில் n ஆனது ஒரு செவ்விய எண்ணாகும்.

முச்செவ்விய எண்கள்[தொகு]

k = 3

σ(n) = 3n எனில் n ஆனது ஒரு முச்செவ்விய எண்ணாகும். ஆறு முச்செவ்விய எண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (OEIS-இல் வரிசை A005820)

m என்ற ஒற்றைச் செவ்விய எண் இருக்குமானால் (தீர்வு காணப்படாத கூற்று) 2m ஆனது 3-செவ்விய எண்.

σ(2m) = σ(2) σ(m) = 3×2m.

ஒற்றை முச்செவ்விய எண் இருந்தால், அது 10⁷⁰ ஐ விடப் பெரிய வர்க்க எண்ணாக இருக்கும்; மேலும் அதற்குக் குறைந்தபட்சமாக 12 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள் இருக்கும்; அப்பகாக்காரணிகளுள் மிகப்பெரியது 10⁵ ஐ விடப் பெரியதாகவும் இருக்கும்.^[3]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Flammenkamp, Achim. "The Multiply Perfect Numbers Page". பார்க்கப்பட்ட நாள் 22 January 2014.
↑ Sándor, Mitrinović & Crstici 2006, ப. 105
↑ Sándor, Mitrinović & Crstici 2006, ப. 108–109

ஆதாரங்கள்[தொகு]

Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi (2008). "Odd multiperfect numbers of abundancy 4". Journal of Number Theory 126 (6): 1566–1575. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001. https://researchcommons.waikato.ac.nz/bitstream/10289/1796/1/Odd%20multiperfect%20numbers%20of%20abundancy%204.pdf.
Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். B2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020a). "Bi-unitary multiperfect numbers, I". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (1): 93–171. doi:10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171. http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-1-093-171.pdf.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020b). "Bi-unitary multiperfect numbers, II". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (2): 1–26. doi:10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26. http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-2-001-026.pdf.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020c). "Bi-unitary multiperfect numbers, III". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (3): 33–67. doi:10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67. http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-3-033-067.pdf.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020d). "Bi-unitary multiperfect numbers, IV(a)". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 26 (4): 2–32. doi:10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32. https://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-4-002-032.pdf.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021a). "Bi-unitary multiperfect numbers, IV(b)". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 27 (1): 45–69. doi:10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69. https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-1-045-069.pdf.
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021b). "Bi-unitary multiperfect numbers, V". Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 27 (2): 20–40. doi:10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40. https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-2-020-040.pdf.
Kishore, Masao (1987). "Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors". Journal of the Australian Mathematical Society, Series A 42 (2): 173–182. doi:10.1017/s1446788700028184. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0263-6115.
Laatsch, Richard (1986). "Measuring the abundancy of integers". Mathematics Magazine 59 (2): 84–92. doi:10.2307/2690424. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0025-570X.
Merickel, James G. (1999). "Divisors of Sums of Divisors: 10617". The American Mathematical Monthly 106 (7): 693. doi:10.2307/2589515.
Ryan, Richard F. (2003). "A simpler dense proof regarding the abundancy index". Mathematics Magazine 76 (4): 299–301. doi:10.1080/0025570X.2003.11953197.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav, eds. (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
Sorli, Ronald M. (2003). Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers (PhD thesis). Sydney: University of Technology. hdl:10453/20034.
Weiner, Paul A. (2000). "The abundancy ratio, a measure of perfection". Mathematics Magazine 73 (4): 307–310. doi:10.1080/0025570x.2000.11996860.

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

[fl-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Flammenkamp, Achim. "The Multiply Perfect Numbers Page". பார்க்கப்பட்ட நாள் 22 January 2014.

[HBI105-2] Sándor, Mitrinović & Crstici 2006, ப. 105

[3] Sándor, Mitrinović & Crstici 2006, ப. 108–109

[1]

[2]

[3]