பித்தேகோரசு தேற்றம்

பித்தேகோரசு தேற்றம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகிய செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) (c) இருமடியானது, மற்ற பக்க நீளங்களின் (a, b) இருமடிகளின் கூட்டுக்கு ஈடு (சமம்). $a^2 + b^2 = c^2\,$

பித்தேகோரசு தேற்றம் அல்லது பைத்தகரசின் தேற்றம் (Pythagorean theorem அல்லது Pythagoras' theorem) என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள மூன்று பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள தனிச்சிறப்பான ஒரு தொடர்பைக் கூறும் ஒரு கூற்று. இத்தேற்றம் என்ன கூறுகிறது என்றால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், அதன் செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) நீளத்தின் இருமடியானது, மற்ற பக்க நீளங்களின் இருமடிகளின் கூட்டுக்கு ஈடு (சமம்). இத்தேற்றத்தை கிரேக்க நாட்டு கணிதவியல் அறிஞர், மெய்யியல் அறிஞராகிய பித்தேகோரசு கண்டுபிடித்தார் என்று பொதுவாக நம்பப்படுவதால், அவர் பெயரால் இத்தேற்றம் வழங்குகின்றது . ஆனால் இத்தேற்றத்தின் உண்மை அவர் காலத்திற்கு மிக முன்னமேயே அறியப்பட்டுப் பயன்பாட்டில் இருந்து வந்துள்ளது.

செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகிய செம்பக்கம் அல்லது கர்ணத்தின் நீளத்தை $c \,$ என்று கொண்டு, மற்ற இரு பக்கங்களின் (“தாங்கிப் பக்கங்களின்”) நீளங்களை $a, b \,$என்று குறித்தால், பித்தேகோரசு தேற்றம் கூறும் தொடர்பைக் கீழே உள்ள ஓர் எளிய சமன்பாட்டால் அறியலாம்:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

இப்பொழுது செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) நீளத்தை நேரடியாக அறிய:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,$

செம்பக்கத்தின் நீளமும், மற்றொரு பக்கத்தின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தைக் கீழ்க்காணுமாறு அறியலாம்

$c^2 - a^2 = b^2\,$

அல்லது,

$c^2 - b^2 = a^2.\,$

இந்தப் பித்தேகோரசின் தேற்றத்தின் நீட்சியாக அல்லது பொதுமைப்பாடாகச் செங்கோண முக்கோணம் மட்டுமல்லாமல் எந்த ஒரு (யூக்கிளிடிய சமதள) முக்கோணத்திற்கும் பொருந்துமாறு கோசைன்களின் விதி வகுக்கப்படுகின்றது. இந்தக் கோசைன்களின் விதிப்படி, மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை அறிய, மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணமும் அறிந்திருக்க வேண்டும். மற்ற இரு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம் செங்கோணமாக (90°) இருந்தால், கோசைன்களின் விதி பித்தேகோரசின் விதியாகச் சுருங்கிவிடும்.

பித்தேகோரசின் விதியை வடிவங்களின் துணைகொண்டு காட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தின் இருமடியைக் காட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் ஒரு கட்டம் (சதுரம்) வரைந்து காட்டப்பட்டுள்ளது; அது போலவே, சீரான எவ்வடிவும் இருக்கலாம் என்பதற்காக, அருகில் உள்ள படத்தில் ஒவ்வொரு பக்கங்களின் மீதும் அரைவட்டங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன. செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சீரான வடிவத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சீரான வடிவங்களின் பரப்புகளின் கூட்டுக்கு ஈடு. இதே போலச் சமபக்க முக்கோணங்கள், சீர் அறுகோணங்கள் போன்றவற்றையும் அமைத்துக் காட்டலாம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கங்களின் மீதும் அரைவட்டங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன. செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) மீதுள்ள சீரான வடிவத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சீரான வடிவங்களின் பரப்புகளின் கூட்டுக்கு ஈடு. $(\pi/8)a^2 + (\pi/8) b^2 = (\pi/8)c^2\,$

நிறுவல்

பித்தேகோரசு தேற்றத்திற்குப் பல நிறுவல் வழிகள் உள்ளன. அதிக நிறுவல்கள் பெற்ற தேற்றம் என்னும் புகழ் பெற்றது இத்தேற்றம். எலிஷா ஸ்காட் லூமிஸ் (Elisha Scott Loomis) எழுதிய பித்தேகோரியன் முன்மொழிவு (Pythagorean Proposition), என்னும் நூலில் 367 நிறுவல்களைத் தொகுத்து வழங்கியுள்ளார். படிமம்:Proof-Pythagorean-Theorem.svg ABC என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். C என்னும் முனையில் செங்கோணம் உள்ளது. C இல் இருந்து எதிர்ப் பக்கத்துக்கு ஒரு செங்குத்துக் கோடு வரைவோம். இது எதிர்ப்பக்கமாகிய AB இல் H என்னும் இடத்தில் வெட்டட்டும். இப்பொழுது புதிய முக்கோணமாகிய ACH முதலில் எடுத்துக்கொண்ட ABC என்னும் முக்கோணத்துடன் வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். ஏனெனில் இரண்டுமே செங்கோண முக்கோணத்தையும், A என்னும் கோணத்தை பொதுவாகவும் கொண்டிருப்பதால் (மூன்றாவது கோணமும் ஒன்றாகத்தான் இருத்தல் வேண்டும்), இரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். இதே போன்ற காரணங்களால், முக்கோணங்கள் ABC, CBH ஆகிய இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகையால், அவற்றின் பக்க நீளங்களின் விகிதங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

$BC=a, AC=b, \text{ and } AB=c, \!$

எனவே

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

இவற்றைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

$a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH. \,$

இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால், நாம் பெறுவது:

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!$

மேலுள்ளவற்றில் இருந்து பித்தேகோரசு தேற்றத்தைப் பெறுகின்றோம்:

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

யூக்ளிடின் நிறுவல்

யூக்க்ளிடின் "கூறுகள்" (Elements) என்னும் நூலில் உள்ள நிறுவல்'

யூக்ளிடின் "கூறுகள்" ("Elements") என்னும் நூலில் முதல் புத்தகத்தில் முன்வைப்பு 47 இல், பித்தேகோரசின் தேற்றத்தைக் கீழ்க்காணும் ஏரண காரணங்களைக் கொண்டு நிறுவியுள்ளார். A, B, C ஆகிய மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூலைகளாக இருக்கட்டும். செங்கோண முக்கோணம் A இல் இருக்கட்டும். A இல் இருந்து எதிர்ப்புறமாகிய செம்பக்கத்துக்கு (கர்ணத்துக்கு) ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரை. இந்தச் செங்குத்துக்கோடு செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தின் வழியாக நீண்டு செல்லட்டும். இந்தச் செங்குத்துக் கோடு, செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கின்றது. இந்த இரண்டு செவ்வகங்களும் மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சதுரங்களின் பரப்பளவுக்குச் சமம் (ஈடு).

முறையான நிறுவலுக்கு நான்கு சிறுதேற்றங்கள் தேவை:

1. இரு முக்கோணங்களுக்கிடையே முறையாக இரு பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்து, அவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமும் ஒன்றாக இருந்தால் அம் முக்கோணங்கள் முற்றொருமை முக்கோணங்களாகும்.
2. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, அதன் அடியாகக் கொண்ட பக்கத்தைக் கொண்டு முக்கோணத்தின் குத்துயரமே கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பளவில் பாதி.
3. ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்க நீளத்தின் இருமடி
4. எந்த ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் அதன் இரு அண்டைப் பக்கநீளங்களின் பெருக்குத்தொகை (மேலுள்ள சிறுதேற்றம் 3 இன் விளைவு).

(தமிழாக்கம் செய்ய வேண்டும்)

The intuitive idea behind this proof, which can make it easier to follow, is that the top squares are morphed into parallelograms with the same size, then turned and morphed into the left and right rectangles in the lower square, again at constant area.

நிறுவல் கீழ்க்காணுமாறு செல்கின்றது:

1. ACB என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். அதன் செங்கோணம் CAB.
2. BC, AB, CA, ஆகிய ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் CBDE, BAGF, ACIH, என்னும் சதுரங்களை முறையாக வரையவும்.
3. A இல் இருந்து , BD, CE களுக்கு இணையாக கோடுவரையவும். இது BC மற்றும் DE ஐ K மற்றும் L, இடங்களில் முறையே செங்க்குத்தாக வெட்டும்.
4. CF, AD முதலியவற்றை இணைத்து BCF, BDA. ஆகிய முக்கோணங்களை ஆக்குக.

Illustration including the new lines

1. கோணங்கள் CAB , BAG ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே C, A, G ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டில் அமரும் புள்ளிகள். அதைப்போலவே B, A, H ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டுப்புள்ளிகள்.
2. கோணங்கள் CBD, FBA ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே கோணம் ABD ஈடு (சமம்) கோணம் FBC, ஏனெனில் இரண்டுமே செங்கோணம் கூட்டல் கோணம் ABC.
3. AB, BD ஆகிய இரண்டும் FB, BC ஆகிய இரண்டுக்கும் முறையே ஈடு ஆகையால், முக்கோணம் ABD, முக்கோணம் FBC இக்கு ஈடாக இருத்தல் வேண்டும்.
4. புள்ளி A ஆனது K , L உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால் BDLK என்னும் செவ்வகம் ABD என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவை போல் இரு மடங்காகும்..
5. முனை C ஆனது A, G உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால், BAGF என்னும் சதுரம் FBC என்னும் முக்கோணத்தை போல் இருமடங்கு பரப்பளவு கொண்டது.
6. எனவே BDLK என்னும் செவ்வகம் BAGF என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவு கொண்டிருக்கும். அது AB² சமம்.
7. அதே போல, CKLE என்னும் செவ்வகம் ACIH என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு ஈடாக இருக்கும். அது AC² இக்குச் சமம்.
8. மேலுள்ள இரண்டு முடிவுகளையும் சேர்த்தால், AB² + AC² = BD × BK + KL × KC
9. BD = KL என்பதால், BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
10. எனவே AB² + AC² = BC², ஏனெனில் CBDE என்பது ஒரு சதுரம்.

இந்த நிறுவல் யூக்கிளிடின் "கூறுகள்" நூலில் முதல் தொகுதியில் 47 ஆவது முன்வைப்பாக உள்ளது 1.47.

இயற்கணித நிறுவல்

A,B,C என்பன ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள். முற்றொருமையான நான்கு செங்கோண முக்கோணங்களைப் படத்தில் உள்ளவாறு அடுக்கினால், நடுவே C என்னும் பக்கம் கொண்ட சதுரம் கிடைக்கும். இப்படத்தைக் கொண்டு பித்தேகோரசின் தேற்றத்தை நிறுவலாம்

இயற்கணித முறையைப் பின்பற்றிக் கீழ்க்காணும் காரண கருத்தோட்டத்தின் படி நிறுவலாம். இதற்கு அருகில் உள்ள படம் உதவும். படத்தில் நீல நிறத்தில் C என்னும் பக்கம் கொண்ட சதுரமானது, நான்கு ஒரே அளவும் வடிவும் உடைய செங்கோண முக்கோணங்களை அடுக்கி நடுவே அமைக்கப்பட்டுள்ளது. நீல நிறச் சதுரமும், மற்ற நான்கு முக்கோணங்களும் சேர்ந்து இன்னும் பெரிய சதுரம் உருவாகி இருப்பதையும் பார்க்கவும். பெரிய சதுரத்தின் பக்க நீளம் (A+B) என்பதையும் நோக்கவும்.

$\frac{1}{2} AB.$

A-பக்கக் கோணமும், Bபக்கக் கோணமும் நிரப்புக் கோணம் (complementary angles), ஆகவே, நடுவே நீல நிறத்தில் உள்ள கோணம் செங்கோணம் (எனவேதான் அது சதுரம்). இந்தச் சதுரத்தின் பரப்பளவு C². எனவே, இப்படத்தில் உள்ள பல்வேறு வடிவங்களின் பரப்பளவுகள்:

$4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.$

ஆனால் யாவற்றையும் அடக்கி இருக்கும் பெரிய சதுரத்தின் பக்க அளவு A + B, எனவே அதன் பரப்பளவு (A + B)². இதனை விரித்தால் A² + 2AB + B².

$A^2+2AB+B^2=4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.\,\!$

$A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\!$

இப்பொழுது 2AB ஐ மேலுள்ள ஈடுகோளின் இருபக்கத்தில் இருந்தும் கழித்தால்,

$A^2+B^2=C^2\,\!$

பக்கநீளங்கள் 3, 4, 5 அலகுகள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணம் ஒன்றைக்கொண்டு பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் நிறுவலைக் காட்சிப்படுத்தியுள்ளார் கி.மு 500-200 காலப்பகுதியைச் சேர்ந்த சௌ பை சுவான் சுங் என்பவர்.

நிறுவலை இயங்கு படமாக வடிவங்களை நகர்த்திக் காட்டுதல்.

போதையனார் பாட்டு

இவர் செம்பக்கத்தை அலல்து கர்ணத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று தன் பாடலில் கூறியுள்ளார். இது ஒரு தோராயக் கணக்குதான், துல்லியமானது அல்ல.

ஓடும் நீளம் தனை ஒரேஎட்டுக்

கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்

தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்

வருவது கர்ணம் தானே.

இதன் பொருள் செங்கோண முக்கோண நீளத்தில் (அடிப்பாகம்) 8 பங்கில் ஒன்றைக் கழித்துவிட்டு உயரத்தில் பாதியை எடுத்து கூட்டினால் வரும் நீள அளவே கர்ணம் என்பதாகும்.

உசாத்துணை

• Bell, John L., The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development, Kluwer, 1999. ISBN 0-7923-5972-0.
• Euclid, The Elements, Translated with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover, (3 vols.), 2nd edition, 1956.
• Hardy, Michael, "Pythagoras Made Difficult". Mathematical Intelligencer, 10 (3), p. 31, 1988.
• Heath, Sir Thomas, A History of Greek Mathematics (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-24073-8.
• Loomis, Elisha Scott, The Pythagorean proposition. 2nd edition, Washington, D.C : The National Council of Teachers of Mathematics, 1968.
• Maor, Eli, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2007, ISBN 978-0-691-12526-8.
• Stillwell, John, Mathematics and Its History, Springer-Verlag, 1989. ISBN 0-387-96981-0 and ISBN 3-540-96981-0.
• Swetz, Frank, Kao, T. I., Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China, Pennsylvania State University Press. 1977.
• van der Waerden, B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983.