புள்ளிப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது இரு நெறிமங்களுக்கு இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே (R) தவிர ஒரு நெறிமம் அல்ல. மாறாக இதே இரு நெறிமங்களைக் கொண்டு செய்யும் குறுக்குப் பெருக்கலில் கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு நெறிமம் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது யூக்ளீடிய இட வெளியில் உள்முகப் பெருக்கல் எனப்படும்.

வரையறை

a, b என்னும் இரு நெறிமங்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு நெறிமங்களும் நெறிமவெளியில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம். ஈவிரு நெறிமங்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால் a = [a₁, a₂, … , a_n] மற்றும் b = [b₁, b₂, … , b_n], புள்ளிப்பெருக்கலானது:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு நெறிமங்கள் [1, 3, −5] மற்றும் [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்:

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.$

அணி கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த நெறிமங்களை n×1 அணிகளாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} \,$

மேலுள்ளதில் a^T a யின் அணித் திருப்பம் என்பதைக் குறிக்கும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1×3 அணி (இங்கு நெறிமத்தைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3×1 அணி (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது 1×1 அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}.$

வடிவவியல் விளக்கம்

|a|•cos(θ) என்பது bயின் மீது படியும் aயின் படிநிழல்

யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. a என்னும் நெறிமம் தொடர்பாக a•a என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது நெறிமம் b ஆக இருக்குமானால்

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,$

மேலுள்ளதில் |a| யும் |b| யும் a மற்றும் b நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும். θ என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும்.

|a|•cos(θ) என்பது b யின் மீது படியும் a யின் நிழல் ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது b யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் a யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம்.

cosine 90° இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான நெறிமங்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). a , b ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பைத் தரும். எனவே இரு நெறிமங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்:

$\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).$

இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கல்

இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• செய்யப்படும் வேலை என்பது விசை, நகரும் தொலைவு ஆகிய இரு நெறிமங்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (நெறிமம் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.

சில பண்புகள்

a, b, மற்றும் c ஆகிய மூன்றும் நெறிமங்களாக இருப்பின், r என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்:

புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative):

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.$

புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear):

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).$

புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive):

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}.$

பரும அளவால் பெருக்கப்பட்டால் புள்ளிப்பெருக்கல் கீழ்க்காணும்படி இயங்கும்:

$(c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(இந்த கடைசி இரண்டு பண்புகளும் முதல் இரண்டு பண்புகளில் இருந்து பெறப்படும்).

• a • b = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நெறிமங்கள் a மற்றும் b இரண்டும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

சாதாரண எண்களின் நீக்கல்விதி:

ab = ac எனில் b = c. (a ≠ 0) இவ்விதி புள்ளிப் பெருக்கத்திற்குப் பொருந்தாது.

நெறிமங்களுக்கு:

a • b = a • c மற்றும் a ≠ 0 எனில்,

a • (b − c) = 0 (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)

எனவே a மற்றும் (b − c) நெறிமங்கள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைகின்றன. இம்முடிவினால்:

(b − c) ≠ 0, அதாவது b ≠ c.

அணிக் கணித ஒப்புரு

உள்முக பெருக்கலை அணிக் கணித ஒப்புரு வழிக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக இரு நெறிமங்கள்:

$\mathrm{a} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}, \mathrm{b} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}$

என்பதை அடிப்படைக் கணம் வழிக் குறிப்பிடலாம்.

$\mathrm{S}$:

$\mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \}$

இதன் எந்த உள்முகப் பெருக்கலையும் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:

$< \mathrm{a} , \mathrm{b} > = \mathrm{a^T} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{b}$

இங்கு உள்முகப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் 3x3 அணி $\mathrm{M}$

$\mathrm{S}$ மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி $\mathrm{C_S}$ எனில், $\mathrm{M}$ -ன் மதிப்பைப் பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்:

$\mathrm{C_S} = \begin{bmatrix} <u,u> & <u,v> & <u,w> \\ <v,u> & <v,v> & <v,w> \\ <w,u> & <w,v> & <w,w> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^T \cdot M \cdot u & u^T \cdot M \cdot v & u^T \cdot M \cdot w \\ v^T \cdot M \cdot u & v^T \cdot M \cdot v & v^T \cdot M \cdot w \\ w^T \cdot M \cdot u & w^T \cdot M \cdot v & w^T \cdot M \cdot w \end{bmatrix}$

எடுத்துக்காட்டுகள்

அடிப்படைக் கணங்களைக் கீழ்க்காணுமாறு கொடுத்தால்

$\mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$

$\mathrm{S}$ மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி:

$\mathrm{C_S} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix}$

$\mathrm{C_S}$-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பின்வருமாறு இரு அடிப்படை நெறிமங்களின் உள்முகப் பெருக்கலுக்குச் சமப்படுத்தலாம்.

$\mathrm{C_S}[i,j] = <\mathrm{S}[i],\mathrm{S}[j]>$

$\mathrm{C_S}[0,0] = 5 = <\mathrm{u},\mathrm{u}> = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \mathrm{M} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\mathrm{C_S}[0,1] = 2 = <\mathrm{u},\mathrm{v}> = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \mathrm{M} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\cdots$

இது ஒன்பது சமன்பாடுகளையும் ஒன்பது மதிப்பறியா மாறிகளையும் தருகிறது.

இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:

$\mathrm{M} = \begin{bmatrix} 5 & -3 & -2 \\ -3 & 7 & -2 \\ -2 & -2 & 9 \end{bmatrix}$

வெளி இணைப்புகள்

• Eric W. Weisstein, Dot product at MathWorld.
• A quick geometrical derivation and interpretation of dot product
• Interactive GeoGebra Applet
• Java demonstration of dot product
• Another Java demonstration of dot product
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.