செங்கோண முக்கோணம்

வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் செங்கோணம் (அதாவது 90°) எனில் அம்முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் (right triangle அல்லது right-angled triangle) என அழைக்கப்படும். செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புதான் முக்கோணவியலின் அடிப்படையாக அமைகிறது.

சொல்லியல் [தொகு]

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்திற்கு எதிரில் உள்ள பக்கம் செம்பக்கம் (hypotenuse) எனவும், செங்கோணத்தைத் தாங்கும் இரு பக்கங்களும் தாங்கிப் பக்கங்கள் ( catheti -plural; cathetus -singular)எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன . படத்தில் செம்பக்கம் a. பக்கம் a, B கோணத்திற்கு அடுத்தள்ள பக்கமாகவும் A கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கமாகவும் உள்ளது. பக்கம் b, A கோணத்திற்கு அடுத்துள்ள பக்கமாகவும் B கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கமாகவும் அமைகிறது.

மூன்று பக்க அளவுகளும் முழு எண்களாக இருந்தால் அச்செங்கோண முக்கோணம் பித்தாகரசு முக்கோணம் எனப்படும். அம்மூன்று பக்க அளவுகளும் ஒன்றாகச் சேர்த்து பித்தாகரசின் மும்மை எனப்படும்

முதன்மைப் பண்புகள் [தொகு]

பரப்பு [தொகு]

ஏனைய முக்கோணங்களுக்குப் போலவே செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பு, அதன் அடிப்பக்கம் மற்றும் அந்த அடிப்பக்கத்தின் குத்துயரம் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாகும். செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தாங்கிப் பக்கத்தை அடிப்பக்கமாக எடுத்துக் கொண்டால் மற்றொரு தாங்கிப் பக்கம் குத்துயரமாக இருக்கும்.

பரப்பு T -ன் வாய்ப்பாடு:

$T=\tfrac{1}{2}ab$

இங்கு a மற்றும் b இரண்டும் தாங்கிப் பக்கங்கள்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் உள்வட்டமானது செம்பக்கம் AB -ஐ புள்ளி P -ல் தொடுகிறது எனில்,

$PA = s - a \,$

$PB = s - b \,$

பரப்பு T:

$T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).$

குத்துயரம் [தொகு]

செங்கோண முக்கோணத்தின் குத்துயரம்.

செங்கோணத்தைக் கொண்ட உச்சியிலிருந்து செம்பக்கத்துக்கு வரையப்படும் குத்துயரம் செங்கோண முக்கோணத்தை இரண்டு சிறிய செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும். இவ்விரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொத்தவையாகவும் மூல முக்கோணத்திற்கும் வடிவொத்தவையாகவும் இருக்கும்.

எனவே:

இக்குத்துயரம் செம்பக்கத்தின் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கல் சராசரியாக (இடை விகிதசமன்) அமையும்.

$\displaystyle f^2=de,$ (சில நேரங்களில் இது செங்கோண முக்கோண குத்துயரத் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.)

தாங்கிப் பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் செம்பக்கம் மற்றும் அத்தாங்கிப் பக்கத்தை அடுத்துள்ள செம்பக்க கோட்டுத்துண்டு இரண்டின் இடை விகிதசமனாக இருக்கும்.

அதாவது:

$\displaystyle b^2=ce,$

$\displaystyle a^2=cd$

இங்கு a, b, c, d, e, f என்பவை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு அமையும்.^[1]

இவ்விரண்டு முடிவுகளிலிலிருந்து:

$f=\frac{ab}{c}.$

மேலும் செம்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துயராமனது செங்கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்களோடு பின்வருமாறு தொடர்பு கொண்டுள்ளது.^[2]^[3]

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ f^2}.$

பித்தாகரசு தேற்றம் [தொகு]

பித்தாகரசு தேற்றத்தின் கூற்று:

எந்தவொரு செங்கோண முக்கோணத்திலும் செம்பக்கத்தின் மீது வரையப்படும் சதுரத்தின் பரப்பு, தாங்கிப் பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் சதுரங்களின் பரப்புகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

இதன் சமன்பாடு வடிவம்:

$c^2 = a^2 + b^2 \,$

பண்புகள் [தொகு]

a, b, c ( c மிக நீளமான பக்கம்) பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட ஆரம் - R, பரப்பு -T என்க. பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாக இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே முக்கோணம் ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்:^[4]

$\displaystyle a^2+b^2=c^2$

$\displaystyle T=\frac{ab}{2}$

$\displaystyle c=2R$ ,

$\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0$

$\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2$

$\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1$

$\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2$

சுற்றுவட்டமானது ஒன்பது புள்ளி வட்டத்திற்கு தொடுவட்டமாக அமையும்.

முக்கோணவியல் விகிதங்கள் [தொகு]

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களைப் பயன்படுத்தி குறுங்கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களுக்கும் கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் செம்பக்கம் மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் A -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:

செம்பக்கம் (அல்லது கர்ணம்) (hypotenuse):

செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.

எதிர்ப்பக்கம் (opposite):

நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் A -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் a.

அடுத்துள்ள பக்கம் (adjacent):

செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( A மற்றும் C) பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் b.

முக்கோணவியல் சார்புகள்:

$\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}.$

$\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}.$

$\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}.$

$\csc A = \frac {1}{\sin A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{opposite}} = \frac {h} {a}.$

$\sec A = \frac {1}{\cos A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{adjacent}} = \frac {h} {b}.$

$\cot A = \frac {1}{\tan A} = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{opposite}} = \frac {b} {a}.$

சிறப்புவகை செங்கோண முக்கோணங்கள் [தொகு]

சிறப்புக் கோணங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி சில குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

30-60-90 முக்கோணத்திலிருந்து π/6 -ன் மடங்காக அமையும் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும்;

45-45-90 முக்கோணத்திலிருந்து π/4 -ன் மடங்காக அமையும் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும் காண முடியும்.

தேலேசுத் தேற்றம் [தொகு]

செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்தின் நடுக்கோடு

தேலேசுத் தேற்றக் கூற்றின்படி:

BC -ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீது அமைந்த ஏதேனுமொரு புள்ளி A எனில், ( B அல்லது C -தவிர) △ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். செங்கோணம் உச்சி A -ல் அமையும்.

மறுதலைக் கூற்று:

ஒரு வட்டத்துக்குள் செங்கோண முக்கோணம் ஒன்று வரையப்பட்டால் அதன் செம்பக்கம் வட்டத்தின் விட்டமாகும்.

கிளை முடிவு:

செம்பக்கத்தின் நீளம், செங்கோண உச்சிக்கும் செம்பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தைப் போல இருமடங்காகும்.

மேலும் இந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் செம்பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியாகவும் ஆரம் செம்பக்கத்தின் நீளத்தில் பாதியாகவும் அமையும்.

நடுக்கோடுகள் [தொகு]

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளுக்கு பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்கும்:

$m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.$

செம்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் நடுக்கோடு, மூல செங்கோண முக்கோணத்தை இரண்டு இருசமபக்க முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும்.

சராசரிகளுடன் தொடர்பு [தொகு]

H, G மற்றும் A என்பவை முறையே a , b ( a > b) என்ற இரு நேர்ம எண்களின் இசைச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் கூட்டுச் சராசரி என்க.

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் H , G -ஐ தாங்கிப் பக்கங்களாகவும்a A -ஐ செம்பக்கமாகவும் கொண்டிருந்தால், ^[5]

$\frac{A}{H} = \frac{A^{2}}{G^{2}} = \frac{G^{2}}{H^{2}} = \phi \,$

மற்றும்

$\frac{a}{b} = \phi^{3}, \,$

இங்கு $\phi,$ என்பது தங்க விகிதம் $\tfrac{1+ \sqrt{5}}{2}. \,$ ஆகும்.

ஏனைய பண்புகள் [தொகு]

a, b -தாங்கிப் பக்கங்களாகவும் c -செம்பக்கமாகவும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம்:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.$

p, q நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டுகள் உச்சி C லிருந்து செம்பக்கத்தை c/3 நீளமுள்ள மூன்று சமதுண்டுகளாகப் பிரித்தால்: ^[6]^{:pp. 216-217}

$p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.$

முக்கோணத்துக்குள் வெவ்வேறான இரண்டு சதுரங்கள் வரையக்கூடிய முக்கோணங்கள் செங்கோண முக்கோணங்கள் மட்டும்தான் ^[7]

அவ்வாறு ஒரு செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையப்பட்ட வெவ்வேறு இரு சதுரங்களின் பக்க நீளங்கள் h, s (h>s). செம்பக்கம் c எனில்:

$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{s^2}.$

மேற்கோள்கள் [தொகு]

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
↑ Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.
↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Weisstein, Eric W., "Right Triangle" from MathWorld.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.. http://www.archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog.

வெளி இணைப்புகள் [தொகு]

விக்கி ஊடக நடுவத்தில் Right triangles தொடர்புடைய மேலும் பல ஊடகக் கோப்புகள் உள்ளன.

Calculator for right triangles

[1] Wentworth p. 156

[2] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[3] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[4] Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.

[5] Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

[6] Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.

[7] Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

செங்கோண முக்கோணம்

பொருளடக்கம்

சொல்லியல் [தொகு]

முதன்மைப் பண்புகள் [தொகு]

பரப்பு [தொகு]

குத்துயரம் [தொகு]

பித்தாகரசு தேற்றம் [தொகு]

பண்புகள் [தொகு]

முக்கோணவியல் விகிதங்கள் [தொகு]

சிறப்புவகை செங்கோண முக்கோணங்கள் [தொகு]

தேலேசுத் தேற்றம் [தொகு]

நடுக்கோடுகள் [தொகு]

சராசரிகளுடன் தொடர்பு [தொகு]

ஏனைய பண்புகள் [தொகு]

மேற்கோள்கள் [தொகு]

வெளி இணைப்புகள் [தொகு]

வழிசெலுத்தல் பட்டி

சொந்தப் பயன்பாட்டுக் கருவிகள்

பெயர்வெளிகள்

மாற்றுக்கள் மாற்றுருவங்கள்

பார்வைகள்

செயல்கள்

தேடுக

வழிசெலுத்தல்

உதவி

தமிழ் விக்கிமீடியா திட்டங்கள்

பிற

அச்சு/ஏற்றுமதி

கருவிப் பெட்டி

மற்ற மொழிகளில்