முடிவிலி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
வெவ்வேறு எழுத்துருக்களில் முடிவிலி

முடிவிலி (Infinity, குறியீடு: ) என்பது ”வரம்பற்ற” என்பதைக் குறிக்கும் ஒரு நுண் கருத்துருவாகும். இக்கருத்துரு, பல துறைகளில் பயன்பட்டாலும், கணிதத்திலும் இயற்பியலிலும் முக்கியப் பயன்பாடுள்ளது. முடிவிலியானது, கணிதத்தில் ஒரு எண்ணைப் போன்றே கையாளப்பட்டாலும் உண்மையில் அது இயல் எண்]]கள், மெய்யெண்கள் போன்ற எண்களைச் சேர்ந்ததல்ல. முடிவிலி ஓர் எண்ணன்று.[1]

19ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியிலும் 20ஆம் நூற்றாண்டின் துவக்கத்திலும், முடிவிலி மற்றும் முடிவிலி கணம் தொடர்பான கருத்துக்களைக் கணிதவியலாளர் கியார்கு கேன்ட்டர் முறைப்படுத்தியுள்ளார். அவரால் மேம்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடுகள், வேறுபட்ட எண்ணளவைகள் கொண்ட முடிவிலி கணங்களைக் கொண்டிருந்தன.[2] எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்கணின் கணமானதுs எண்ணுறு முடிவிலிகணம்; மெய்யெண்களின் கணம் எண்ணுறா முடிவிலி கணம்.[3]

கணிதம்[தொகு]

முடிவிலிக் குறி[தொகு]

முடிவிலி என்ற கருத்துரு, கணிதத்தில் ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இக்குறி 1655 இல், ஜான் வாலிசால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.[4][5]. கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது பிற துறைகளிலும் இக்குறியே முடிவிலிக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[6] [7]

நுண்கணிதம்[தொகு]

நுண்கணிதக்கண்டுபிடிப்பாளர்களுள் ஒருவரான லைபினிட்சு, முடிவிலி எண்களின் கணிதப் பயன்பாடுகள் குறித்த ஊகங்களை அளித்துள்ளார். லைபினிட்சின் கருத்துப்படி நுண்ணளவுகளும் முடிவிலி அளவுகளும் ஒரேயியல்பானவை அல்ல; எனினும் அவை தொடர்ச்சி விதிக்கேற்ற, ஒரேமாதிரி பண்புகளைக் கொண்டவையாகும்.[8][9]

மெய்ப் பகுப்பியல்[தொகு]

மெய்ப் பகுப்பியலில், முடிவிலி என அழைக்கப்படும் குறியீடானது, வரம்பற்ற எல்லையைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[10] ஆனது x இன் மதிப்பு வரம்பில்லாமல் அதிகரித்துக் கொண்டே போகிறது என்பதையும் ஆனது of x இன் மதிப்பு வரம்பில்லாமல் குறைந்து கொண்டே போகிறது என்பதையும் குறிக்கும்.

 t இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் f(t) ≥ 0 ஆக இருக்கும்பொழுது:[11]

  • எனில், இலிருந்து வரை f(t) இன் கீழ் எந்த முடிவிலி பரப்பும் இருக்காது.
  • எனில், f(t) இன் கீழமையும் பரப்பு முடிவிலியாகும் என்பதையும்
  • எனில், f(t) கீழுள்ள முழுப்பரப்பும் முடிவிலியாகவும் க்குச் சமமானதாகவும் இருக்கும்.

தொடர்களை விவரிப்பதற்கும் முடிவிலி பயன்படுத்தப்படுகிறது:

  • எனில், இந்த முடிவிலித் தொடரானது என்ற மெய்யெண் மதிப்பிற்கு ஒருங்குகிறது என அறியலாம்.
  • எனில், இது ஒரு விரிதொடரென அறியலாம்.

தொடர்வு (Sequence)களை முடிவுறு தொடர்வு என்றும் முடிவுறாத் தொடர்வு என்றும் இருவகைப்படுத்தலாம்.முடிவுறு தொடர்வு என்பது முடிவு தெரிந்த (அல்லது தெரியப்படுத்தப்பட்ட) தொடர்வு என்று கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

  • 1, 2, 3, ..., 10.

என்ற தொடர்வில் 10 உறுப்புகள் உள்ளன.

என்ற தொடர்வில் 100 உறுப்புகள் உள்ளன.

இவை முடிவுறு தொடர்கள் எனப்படும். மாறாக,

  • 1,2,3, ...

என்று முடிவே இல்லாமல் இருக்கும் தொடர்வு முடிவுறாத்தொடர்வு. இத்தொடர் முடிவிலா உறுப்புக்கள் உள்ளன என்பதே சரியான கூற்று. மாறாக இத்தொடரிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பது சரியாகாது. ஒரு முடிவிலா கணத்தில் எவ்வளவு உறுப்புக்கள் உள்ளன என்பதை அலசுவதற்குத்தான் எண்ணுறுமை (Countability) எண்ணுறாமை (Uncountability) என்ற கருத்துக்கள் உருவாக்கப்பட்டன.

  • 1,2,3, ...
  • 2,4,6, ...
  • ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

ஆக இந்த மூன்று தொடர்வுகளும் ஒரே "எண்ணளவை" யுள்ள கணங்கள் என்ற கருத்து ஒரு நுண்புலக் கணிதக் கருத்து. இதனுடைய விபரங்களை எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் கட்டுரையில் காணலாம்

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Katherine Körner. "All about Infinity". NRICH. பார்த்த நாள் 2015 சனவரி 22.
  2. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 616. ISBN 0-691-11880-9. https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC.  Extract of page 616
  3. Maddox 2002, pp. 113 –117
  4. Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703) (2 ed.), American Mathematical Society, p. 24, ISBN 0-8284-0314-7, https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24 .
  5. Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54 .
  6. O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, p. 243, ISBN 9780226618555, https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243 .
  7. Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, p. 159, ISBN 9780801422119, https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159 .
  8. Continuity and Infinitesimals entry by John Lane Bell in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
  9. Jesseph, Douglas Michael (1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science 6 (1&2): 6–40. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. Archived from the original on 16 February 2010. http://www.webcitation.org/5nZWht6FE. பார்த்த நாள்: 16 February 2010. 
  10. Taylor 1955, p. 63
  11. These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, Swokoski 1983, pp. 468-510
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=முடிவிலி&oldid=2019894" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது