இணக்க எண்

கணிதத்தில், இணக்க எண்கள் (sociable numbers) என்பவை அவற்றின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைகளை ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகவுள்ள எண்களாகும். இவ்வெண்கள், நிறைவெண்கள் மற்றும் நட்பு எண்கள் ஆகிய கருத்துருக்களின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். 1919 இல்யானது பெல்ஜியக் கணிதவியலாளர் பால் பௌலத் என்பாரால் முதல் இரண்டு இணக்க எண்களின் தொடர்முறைகள், கண்டறியப்பட்டு பெயரிடப்பட்டன. இணக்க எண்களின் தொடர்வரிசையில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முந்தைய எண்ணின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும். இணக்கமான தொடர்வரிசையாக இருப்பதற்கு அத்தொடர்வரிசையானது சுழற்சியுடையதாகவும் துவக்க இடத்துக்கே மீண்டும் திரும்புவதாகவும் இருக்க வேண்டும்.

தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு சுழலிலும் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கையானது அந்த இணக்க எண்கள் தொடர்வரிசையின் 'வரிசை' அல்லது காலமுறை இடைவெளி எனப்படும்

தொடர்வரிசையின் காலமுறை இடைவெளி 1 எனில், அவ்வெண் வரிசை '1' உடைய இணக்க எண் அல்லது நிறைவெண் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, 6 இன் தகுவகுஎண்கள்: 1, 2, 3; இவற்றின் கூடுதல் மீண்டும் 6. எனவே 6 இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைகளின் தொடர்முறை: 6, 6, 6, ...; இது நீளம் ஒன்றுகொண்ட காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக உள்ளதால் 6 ஆனது ஓர் இணக்க எண் மற்றும் நிறைவெண்ணும் ஆகும்.

• ஒரு சோடி இசைவான எண்கள், வரிசை '2' உள்ள இணக்க எண்களாகும்.
• '3' வரிசையுள்ள இணக்க எண்கள் கண்டறியப்படவில்லை. 1970 நிலைப்படி, அவற்றுக்கான தேடுதல் $5\times 10^{7}$ வரை மேற்கொள்ளப்பட்டது.

ஒவ்வொரு எண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையும் ஒரு இணக்க என்ணாகவோ அல்லது பகா எண்ணாகவோ (1) முடிவடையும் அல்லது அத்தொடர்முறை வரம்பின்றி முடிவில்லாததாக நீண்டுகொண்டே போகும் என்ற இரு கூற்றுக்களும் விடையறியப்படாதவையாகவே உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு

1,264,460 ஆனது '4' வரிசையுடைய இணக்க எண்ணாகும்:

$1264460$ ($=2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719$) இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

$1547860$ ($=2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401$) இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

$1727636$ ($=2^{2}\cdot 521\cdot 829$) இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, and

$1305184$ ($=2^{5}\cdot 40787$) இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

அறியப்பட்ட இணக்க எண்களின் பட்டியல்

ஜுலை 2018 இன் படியான பட்டியல்:

தொடர்வரிசை நீளம்	அறியப்பட்ட தொடர்வரிசைகளின் எண்ணிக்கை	தொடர்வரிசையின் மிகச்சிறிய எண்
1 (நிறைவெண்)	51	6
2 (நட்பு எண்)	1225736919	220
4	5398	1,264,460
5	1	12,496
6	5	21,548,919,483
8	4	1,095,447,416
9	1	805,984,760
28	1	14,316

"n = 3 (சமானம், மாடுலோ n|மட்டு]] 4 எனில், n நீளமுள்ள தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையின் தொடர்முறைகொண்ட எண்ணே கிடையாது" என்ற கூற்றானது வெறும் ஊகமாக மட்டுமே உள்ளது.

5-வரிசை நீளமுள்ள தொடர்வரிசை:: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264

அறியப்பட்டுள்ள ஒரேயொரு 28-வரிசை நீளத் தொடர்வரிசை: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 (OEIS-இல் வரிசை A072890) .

மேற்கோள்கள்

• H. Cohen, On amicable and sociable numbers, Math. Comp. 24 (1970), pp. 423–429

வெளியிணைப்புகள்

• A list of known sociable numbers
• Extensive tables of perfect, amicable and sociable numbers
• Weisstein, Eric W., "Sociable numbers", MathWorld.
• A003416 (smallest sociable number from each cycle) and A122726 (all sociable numbers) in நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம்