நிறைவெண் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் n என்ற ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும், அதன் காரணிகளின் (1 உள்பட) கூட்டுத்தொகை σ(n) என்று குறிக்கப்படும். அக்காரணிகளில் n ம் ஒன்றாகும். n ஐ நீக்கிவிட்டு மீதமுள்ள எல்லா காரணிகளையும் கூட்டி வரும் தொகை s(n) என்று குறிக்கப்படும். இப்பொழுது மூன்றுவித சூழ்நிலைகள் உருவாகக்கூடும்.

1. σ(n) = 2n ; இதுவே s(n) = n என்பதற்குச் சமம்.

2. σ(n) < 2n ; இதுவே s(n) < n என்பதற்குச் சமம்.

3. σ(n) > 2n ; இதுவே s(n) > n என்பதற்குச் சமம்.

முதல் சூழ்நிலையில் n ஒரு நிறைவெண் (Perfect Number) அல்லது செவ்விய எண் என்றும் இரண்டாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'குறைவெண்' (Deficient number) என்றும், மூன்றாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு ' மிகையெண்' (Abundant Number) என்றும் பெயர் பெறும். இக்கட்டுரை நிறைவெண் பற்றியது.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

முதல் நிறைவெண் 6. அதன் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. σ(n) = 12; s(n) = 6.

அடுத்த நிறைவெண் 28. ஏனென்றால், 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28.

அடுத்த நிறைவெண் 496. ஏனென்றால் 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 (OEISஇல் வரிசை A000396 ).

கண்டுபிடிப்பு[தொகு]

முதல் நான்கு நிறைவெண்கள் கிரேக்ககாலத்திலேயே புழங்கப்பட்டவை. நான்காவது நிறைவெண் 8128 என்பதை நிக்கொமாகசு என்ற கிரேக்க அறிவியலர் கி.மு100 இல் கண்டுபிடித்தார்.

1456 -ல், பெயர் அறியப்படாத ஒரு கணிதவியலாளர் ஐந்தாவது செவ்விய எண் 33,550,336 என்பதற்கான குறிப்பை முதலாவதாகப் பதிவு செய்துள்ளார்.[1]

1588 -ல், இத்தாலிய கணிதவியலாளர் பியேட்ரோ கடால்டி, ஆறாவது செவ்விய எண் (8,589,869,056) எனவும்[2] ஏழாவது செவ்விய எண் (137,438,691,328) [3] எனவும் கண்டுபிடித்துள்ளார்.

ஒற்றைப்படை நிறைவெண்கள் உண்டா?[தொகு]

சூன் 2010 வரை 47 நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. அவையெல்லாமே இரட்டைப்படை எண்கள்தாம். ஒரு நிறைவெண் ஒற்றைப்படையாக இருக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை இன்று (2011) வரை யாராலும் விடுவிக்க முடியவில்லை.


இரட்டை நிறைவெண்கள்[தொகு]

முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை யூக்ளிட் கண்டறிந்தார்:

2p−1(2p−1), p ஒரு பகா எண்

p = 2 எனில்:   21(22−1) = 6
p = 3 எனில்:   22(23−1) = 28
p = 5 எனில்:   24(25−1) = 496
p = 7 எனில்:   26(27−1) = 8128.

இந்நான்கிலும் 2p−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2p−1 பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2p−1(2p−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).

2p−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு துறவி மேரின் மெர்சேன் பெயரால் 2p−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், மெர்சேன் பகா எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும் 2p−1, (p ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 211−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் p -களில், 33 மட்டுமே, 2p−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.

யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான இப்னு அல் ஹேத்தம் ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2p−1(2p−1) (இதில் 2p−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை.[4] 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் ஆய்லர், 2p−1(2p−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு யூக்ளிட்-ஆய்லர் தேற்றம் எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஜூன், 2010 -தரவின்படி 47 மெர்சேன் பகா எண்களும் அதனால் 47 இரட்டை நிறை எண்களும் காணப்பட்டுள்ளன.[5] இவற்றில் மிகப் பெரியது 25,956,377 இலக்கங்கள் கொண்ட 243,112,608 × (243,112,609−1) ஆகும்.

முதல் 41 இரட்டை நிறைவெண்கள்:

2p−1(2p−1)
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011 (OEISஇல் வரிசை A000043 ), மற்றும் 24036583.[6]

மற்ற 6 நிறைவெண்கள்: p = 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, மற்றும் 43112609.

இவற்றுக்கிடையில் வேறு இரட்டை நிறைவெண்கள் உள்ளனவா இல்லையா என்பது அறியப்படவில்லை. எண்ணற்ற மெர்சேன் பகா எண்களும் இரட்டை நிறைவெண்களும் இருப்பதற்கான நிரூபணமும் இல்லை.

ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2p−1(2p−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2p−1) -வது முக்கோண எண்ணாகவும் 2p−1 -வது அறுகோண எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2p+1)/3) -வது மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்ணாகவும் முதல் 2(p−1)/2, ஒற்றைக் கன எண்களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:


\begin{align}
6 & = 2^1(2^2-1) & & = 1+2+3, \\[8pt]
28 & = 2^2(2^3-1) & & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
496 & = 2^4(2^5-1) & & = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
8128 & = 2^6(2^7-1) & & = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
33550336 & = 2^{12}(2^{13}-1) & & = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
\end{align}

குறிப்புகள்[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
  • H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 183 (1941), pp. 98–109.
  • R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1937, pp. 69–72.

மேலும் படிப்பதற்கு[தொகு]

  • Dickson, L.E.: History of the Theory of Numbers, 1, Chelsea, reprint, 1952.
  • Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
  • Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", Mathematics of Computation 27, (1973), 951–953.
  • Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
  • Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=நிறைவெண்_(கணிதம்)&oldid=1362464" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது