தகு வகுஎண் சார்பு
கணிதத்தில் ஒரு இயல் எண் n இன் தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகை (aliquot sum) அல்லது தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகைச் சார்பு (aliquot sum function) அல்லது தகு வகுஎண் சார்பு என்பது n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும். இதன் குறியீடு s(n) ஆகும்.
- (இதில் என்பது, வகுஎண் சார்பு ஆகும்.)
- s(n), n இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது n நீங்கலாக, n இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது.
பகா எண்கள், நிறைவெண்கள், குறைவெண்கள், மிகையெண்கள்) ஆகியவற்றின் இயல்புகளைக் காணப் பயன்படுகின்றது. மேலும், [[தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைதகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகை தொடர்முறையை வரையறுக்கவும் பயன்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு
[தொகு]n = 15 எனில் 15, நீங்கலான அதன் தகு வகுஎண்கள்: 1, 3, 5
- s(15) = 1 + 3 + 5 = 9
n = 1, 2, 3, ... எனில் s(n) இன் மதிப்புகள்:
- 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (OEIS-இல் வரிசை A001065)
குறிப்பிடத்தக்க எண்களின் இயல்பைக் காணல்
[தொகு]குறிப்பிடத்தக்க எண்களின் இயல்பைக் காண இக்கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தலாம்.
- தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகையானது பூச்சியமாகவுள்ள ஒரேயொரு எண் 1
- ஒரு எண்ணின் தகு வகுஎண் கூட்டுத்தொகையானது '1' ஆக 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே' அவ்வெண் பகா எண்ணாக இருக்கும்.[1]
- n ஒரு [[நிறைவெண் (கணிதம்)|நிறைவெண் எனில், s(n) = n
- n ஒரு மிகையெண் எனில், s(n) > n
- n ஒரு குறைவெண் எனில், s(n) < n[1]
- பகுதிநிறைவெண் (அவ்வாறான எண்கள் இருக்குமானால்) n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை n + 1 ஆக இருக்கும்.
- கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்கள் ('2' இன் அடுக்குகளாக அமையும் எண்கள்) தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையை n – 1 ஆகக் கொண்ட எண்கள் n ஆகும்.
மறுசெய்கை
[தொகு]தகு வகுஎண் கூட்டுச்சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் (aliquot sequence) பெறலாம். இச்சார்பு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வகுஎண் சார்பு (restricted divisor function) எனவும் அழைக்கப்படும்.[2]
n ஒரு எதிர்மமில்லா முழுவெண் எனில், அதன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை::n, s(n), s(s(n)), …, இத் தொடர்முறையில் s(0) = 0 என வரையறுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.
இத்தொடர்முறையானது எப்போதும் ஒரு பகா எண், அல்லது நிறைவெண் கொண்டு முடிவடைகிறதா என்பது அறியப்படாத விவரமாகவே உள்ளது.[3]
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- ↑ 1.0 1.1 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1090/btran/10, MR 3481968
- ↑ Weisstein, Eric W., "Restricted Divisor Function", MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W., "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture", MathWorld.
வெளி இணைப்புகள்
[தொகு]- Weisstein, Eric W., "Restricted Divisor Function", MathWorld.