அடுக்கேற்றம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search
அடி b இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு y = bx சார்பின் வரைபடம்:
 
 10 அடிமானம்,
 
 e அடிமானம்,
 
 2 அடிமானம்,
 
 1/2 இன் அடிமானம்.
எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் (0, 1) என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் x = 1 எனும்போது y இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

அடுக்கேற்றம் (Exponentiation) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை bn என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், b என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், nஅடுக்கு அல்லது படி எனவும் அழைப்பர். n நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், bn தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.[1]

பொதுவாக அடுக்கானது, அடிமான எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். bn என்னும் அடுக்கேற்றத்தை b இன் n ஆவது அடுக்கு என்றோ, b இன் n ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம்.[2][1][3] சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக b இன் அடுக்கு இரண்டு (b2) என்பது b இன் வர்க்கம் எனவும், b இன் அடுக்கு 3 (b3) என்பது b இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

  • b1 = b
  • m, n இரு நேர்ம எண்களெனில்,
bnbm = bn+m.

இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

b0 = 1
bn = 1/bn (n நேர்ம எண்; b பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,
b−1 = 1/b (b இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.

சொல்லியல்[தொகு]

b அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு b2 ஆகும். எனவே b2 = bb என்பது " b இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல b பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு b3 என்பதால் b3 = bbb ஆனது " b இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.

35 என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக bn என்பதுதை "b இன் n ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகள்[தொகு]

முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

நேர்ம அடுக்குகள்[தொகு]

மற்றும் ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது[4]. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

m, n இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,

பூச்சிய அடுக்கு[தொகு]

பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு 0 க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 ஆகிறது:[5][1]

எதிர்ம அடுக்குகள்[தொகு]

b பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:

(n ஒரு முழுவெண்).[1]

பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் () கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.

b பூச்சிய மதிப்பற்றது; n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:

இதனை மாற்றியெழுத:

எந்தவொரு பூச்சியமற்ற b மற்றும் முழுவெண் n இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:

முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்[தொகு]

அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:[1]

(23)4 = 84 = 4096
2(34) = 281 = 2417851639229258349412352.
  • அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( வலது- சேர்ப்பு) அமையும்.[6]

[7] [8] [9]

அதாவது:

இது இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation".
  2. "Compendium of Mathematical Symbols" (en-US) (2020-03-01).
  3. Weisstein, Eric W.. "Power" (en).
  4. Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. பக். 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4665-6706-1. https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94. 
  5. Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (3rd ). Industrial Press. பக். 101. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8311-3086-2. https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101. 
  6. "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers". Proceedings of the American Mathematical Society (University of California, Berkeley, California, USA) 9 (5): 673–681 [677]. October 1958. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. http://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf. பார்த்த நாள்: 2020-06-28. 
  7. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke". written at Leipzig, Germany (in de). Taschenbuch der Mathematik. 1. Weiß, Jürgen (23 ). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). 1987. பக். 115–120, 802. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-87144-492-8. "Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]" 
  8. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F. ஏனையோர்., தொகுப்பாசிரியர்கள் (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-19225-5. [1]
  9. de:Eberhard Zeidler, தொகுப்பாசிரியர் (2013) (in de). Springer-Handbuch der Mathematik I. I (1 ). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. பக். 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-658-00284-8.  (xii+635 pages)
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=அடுக்கேற்றம்&oldid=3112292" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது