பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் பெருக்கல் சார்பு (multiplicative function) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு f(n) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$f(1)=1$

$f(ab)=f(a)f(b)$, (a, b சார்பகா எண்கள்)

முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

பெருக்கல் சார்பின் வரையறையானது சார்பகா எண்களுக்கு மட்டுமல்லாது அனைத்து நேர்ம முழுஎண்களுக்கும் பொருந்துவதாக இருந்தால் அச் சார்பு, முழுமையான பெருக்கல் சார்பு (completely multiplicative அல்லது totally multiplicative) என அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• மாறிலிச் சார்பு:

$1(n)=1$என வரையறுக்கப்படும் மாறிலிச் சார்பு $1(n)$, ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.

• முற்றொருமைச் சார்பு:

$Id(n)=n$ என வரையறுக்கப்படும் முற்றொருமைச் சார்பு $Id(n)$ முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

• $Id_{k}(n)=n^{k},$ (k ஒரு சிக்கலெண்)

என வரையறுக்கப்படும் அடுக்குச் சார்பு $Id_{k}(n)$ ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.

இதன் சிறப்பு வகைகள்:

$Id_{0}<(n)=1(n)$

$Id_{1}(n)=Id(n)$.

• மீபொவ (n,k):

k ஐ ஒரு நிலையான முழுஎண்ணாகக் கொண்டால்n , k இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது, n மீதான பெருக்கல் சார்பாகும்.

• ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

$n$-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், $n$-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,$n$-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு ($\varphi$(n)) ஒரு பெருக்கல் சார்பு

• மோபியஸ் சார்பு

வரையறை

n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்:

μ(n) = 1

n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:

μ(n) = −1

n க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:

μ(n) = 0

மோபியஸ் சார்பு $\mu$(n) ஒரு பெருக்கல் சார்பு.

• வகுஎண் சார்பு

நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு, x ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் எனில்,

$\sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!,$, ${d|n}$

என வரையறுக்கப்படும் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு σ_x(n) ஒரு பெருக்கல் சார்பு.

இதன் சிறப்புவகைகள்:

$\sigma _{0}(n)=d(n)$, n இன் நேர் வகுஎண்களின் மொத்த எண்ணிக்கை,

$\sigma _{1}(n)=\sigma (n)$, n இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல்.

பண்புகள்

f(n) ஒரு பெருக்கல் சார்பு மற்றும் n வெவ்வேறான பகா எண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கமாக, n = p^a q^b ..., எழுதப்பட்டால்:

$f(n)=f(p^{a})f(q^{b})...$

எடுத்துக்காட்டு:

$n=144=2^{4}\times 3^{2}$ எனில்:

$d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\times 3=15$

$\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1}(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\times 13=403$

$\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\times 10=170.$

இதேபோல:

$\varphi (144)=\varphi (2^{4})\varphi (3^{2})=8\times 6=48$

பொதுவாக, f(n) ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு மற்றும் a, b இரண்டும் ஏதேனும் இரு நேர் முழுஎண்கள் எனில்:

f(a) · f(b) = f(மீபொவ(a,b)) · f(மீபொம(a,b)).

டிரிழ்ச்லெட் தொடர்

சில பெருக்கல் சார்புகளுக்கான டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:

• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeFunction.html