மோபியஸ் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

எண் கோட்பாட்டில் மோபியஸ் சார்பு (Möbius function, μ(n)) ஒரு முக்கியமான பெருக்கல் சார்பு. 1832 இல், ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் ஆகஸ்ட் ஃபெர்டினாண்ட் மோபியசால் இச் சார்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.[1][2]

வரையறை[தொகு]

n இன் அனைத்து நேர் முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் μ(n) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

μ(n) = 1
μ(n) = −1
  • n க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:
μ(n) = 0

முதல் 25 நேர் முழுஎண்களுக்கான μ(n) இன் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A008683)

1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0.

சார்பின் முதல் 50 மதிப்புகள் கீழுள்ள படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன:

μ(n) இன் முதல் 50 மதிப்புகள்

பண்புகள்[தொகு]

μ(ab) = μ(a) μ(b)}}
  • n இன் பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கில் கொள்ளாமலேயே மோபியஸ் சார்பு கணக்கிடும் வாய்ப்பாடு[3]:

μ(n) பிரிவுகள்[தொகு]

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,....
  • n ஒரு பகா எண் எனில் μ(n) = −1, ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல. μ(n) = −1 எனக்கொண்ட பகாஎண்ணல்லாத முதல் எண்: 30 = 2x3x5. இவ்வாறான மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட எண் ஸ்ஃபீனிக் எண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

முதல் ஸ்ஃபீனிக் எண்கள்:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, … (OEIS-இல் வரிசை A007304)

.

ஐந்து வெவ்வேறான பகாக்காரணிகளைக் கொண்ட எண்கள்:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, … (OEIS-இல் வரிசை A046387)

.

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... μ(n) occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."
  2. In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் showed that the sum of the primitive roots (mod p) is μ(p − 1), (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.
  3. Hardy & Wright 1980, (16.6.4), p. 239

மேற்கோள்கள்[தொகு]

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

  • Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Arthur A. Clarke (English translator) (corrected 2nd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
  • Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory), H. Maser (German translator) (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
  • Computing the summation of the Möbius function by Marc Deléglise and Joël Rivat Experimental Mathematics Volume 5, Issue 4291-295
  • Edwards, Harold (1974), Riemann's Zeta Function, Mineola, New York: Dover, ISBN 0-486-41740-9
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford: ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், ISBN 978-0-19-853171-5
  • Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (2nd ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 187–226, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
  • Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001
  • N.I. Klimov (2001), "Möbius function", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
  • Ed Pegg, Jr., "The Möbius function (and squarefree numbers)", MAA Online Math Games (2003)

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=மோபியஸ்_சார்பு&oldid=1780538" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது