மோபியஸ் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் மோபியஸ் சார்பு (Möbius function, μ(n)) ஒரு முக்கியமான பெருக்கல் சார்பு. 1832 இல், ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் ஆகஸ்ட் ஃபெர்டினாண்ட் மோபியசால் இச் சார்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.^[1]^[2]

வரையறை

n இன் அனைத்து நேர் முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் μ(n) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்:

μ(n) = 1

n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:

μ(n) = −1

n க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:

μ(n) = 0

முதல் 25 நேர் முழுஎண்களுக்கான μ(n) இன் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A008683)

1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0.

சார்பின் முதல் 50 மதிப்புகள் கீழுள்ள படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன:

பண்புகள்

மோபியஸ் சார்பு ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும். அதாவது, a மற்றும் b சார்பகா எண்கள் எனில்:

μ(ab) = μ(a) μ(b)}}

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}n=1\\0&{\mbox{ if }}n>1.\end{cases}}$
n இன் பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கில் கொள்ளாமலேயே மோபியஸ் சார்பு கணக்கிடும் வாய்ப்பாடு^[3]:

\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {k}{n}}},

μ(n) பிரிவுகள்

n ஒரு பகா எண்ணின் வர்க்கத்தால் வகுபடுவதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, μ(n) = 0. இப் பண்பினைக் கொண்ட முதல் எண்கள் (OEIS-இல் வரிசை A013929)

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,....

n ஒரு பகா எண் எனில் μ(n) = −1, ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல. μ(n) = −1 எனக்கொண்ட பகாஎண்ணல்லாத முதல் எண்: 30 = 2x3x5. இவ்வாறான மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட எண் ஸ்ஃபீனிக் எண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

முதல் ஸ்ஃபீனிக் எண்கள்:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, … (OEIS-இல் வரிசை A007304)

.

ஐந்து வெவ்வேறான பகாக்காரணிகளைக் கொண்ட எண்கள்:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, … (OEIS-இல் வரிசை A046387)

.

குறிப்புகள்

↑ Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... μ(n) occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."
↑ In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் showed that the sum of the primitive roots (mod p) is μ(p − 1), (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.
↑ Hardy & Wright 1980, (16.6.4), p. 239

மேற்கோள்கள்

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Arthur A. Clarke (English translator) (corrected 2nd ed.), New York: Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-96254-9
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory), H. Maser (German translator) (2nd ed.), New York: Chelsea, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8284-0191-8
Computing the summation of the Möbius function by Marc Deléglise and Joël Rivat Experimental Mathematics Volume 5, Issue 4291-295
Edwards, Harold (1974), Riemann's Zeta Function, Mineola, New York: Dover, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-41740-9
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford: ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-19-853171-5
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (2nd ed.), Dover Publications, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-47189-1
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 187–226, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001
N.I. Klimov (2001), "Möbius function", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
Ed Pegg, Jr., "The Möbius function (and squarefree numbers)", MAA Online Math Games (2003)

வெளி இணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Möbius function", MathWorld.
http://ghmath.wordpress.com/2010/06/20/recursive-relation-for-the-mobius-function/
http://terrytao.wordpress.com/2008/07/13/the-mobius-and-nilsequences-conjecture/

[1] Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... μ(n) occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."

[2] In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் showed that the sum of the primitive roots (mod p) is μ(p − 1), (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.

[3] Hardy & Wright 1980, (16.6.4), p. 239

[1]

[2]

[3]