வகுஎண் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search
n = 250 வரையிலான வகுஎண் சார்பு σ0(n)
n = 250 வரையிலான சிக்மா சார்பு σ1(n)
n = 250 வரையிலான வகுஎண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சார்பு σ2(n)
n = 250 வரையிலான வகுஎண்களின் கனங்களின் கூடுதல்சார்பு σ3(n)

எண்கோட்பாட்டில் வகுஎண் சார்பு (divisor function) என்பது ஒரு முழு எண்ணின் வகுஎண்களோடு தொடர்புடைய எண்கணிதச் சார்பு ஆகும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் மீதான தொடர்புகள் உட்பட்ட பல முற்றொருமைகளில் இச்சார்பு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. [பல முக்கியமான சமானங்களையும் முற்றொருமைகளயும் கணிதவியலில் கண்டுபிடித்த இந்தியக் கணிதவியலாளர் இராமானுசன் வகுஎண் சார்பு குறித்தும் ஆய்வு செய்துள்ளார். அதுகுறித்த விவரங்கள் இராமானுசன் கூட்டு கட்டுரையில் தரப்பட்டுள்ளது.

வரையறை[தொகு]

ஒரு சிக்கலெண் x இன் நேர் வகுஎண்கள் கூட்டுச் சார்பு (sum of positive divisors function) σx(n) என்பது, n இன் நேர் வகுஎண்களின் x ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

இச்சார்பினை கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:

( என்பது "n இன் வகுஎண் d" என்பதன் சுருக்கக் குறியீடு)

x = 0 எனும்போது கிடைக்கும் சார்பான σ0(n) என்பது வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு ஆகும். அதாவது σ0(n), n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. d(n), ν(n), τ(n) (ஜெர்மானிய மொழியில் வகுஎண் என்பதற்கான சொல் Teiler) ஆகிய குறியீடுகளும் σ0(n) ஐக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.[1][2] (A000005).

x = 1 ஆக இருக்கும்போது இச்சார்பானது சிக்மா சார்பு (sigma function) அல்லது வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு (sum-of-divisors function) எனப்படுகிறது.[1][3] இக்குறியீட்டில் கீழொட்டு இல்லாமலும் எழுதலாம்:

σ(n) = σ1(n) (A000203).

n இன் தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பு -s(n):

இது n நீங்கலான அதன் பிற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் சார்பு A001065).

s(n) = σ1(n) − n

தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் பெறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

12 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு σ0(12):

12 இன் வகுஎண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுச் சார்பு σ1(12):

12 இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

அட்டவணை[தொகு]

n வகுஎண்கள் σ0(n) σ1(n) s(n) = σ1(n) − n குறிப்பு
1 1 1 1 0 வர்க்கம் (கணிதம்): σ0(n) ஒற்றை; இரண்டின் அடுக்கு: s(n) = n − 1
2 1, 2 2 3 1 பகா எண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1; இரண்டின் அடுக்கு: s(n) = n − 1
3 1, 3 2 4 1 பகாஎண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1
4 1, 2, 4 3 7 3 வர்க்க எண்: σ0(n) ஒற்றையெண்; இரண்டின் அடுக்கு: s(n) = n − 1 (almost-perfect)
5 1, 5 2 6 1 பகாஎண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1
6 1, 2, 3, 6 4 12 6 முதல் நிறைவெண்: s(n) = n
7 1, 7 2 8 1 பகாஎண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1
8 1, 2, 4, 8 4 15 7 இரண்டின் 2: s(n) = n − 1
9 1, 3, 9 3 13 4 வர்க்க எண்: σ0(n) ஒற்றையெண்
10 1, 2, 5, 10 4 18 8
11 1, 11 2 12 1 பகாஎண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1
12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6 28 16 முதல் மிகையெண் (கணிதம்): s(n) > n
13 1, 13 2 14 1 பகாஎண்: σ1(n) = 1 + n so s(n) = 1
14 1, 2, 7, 14 4 24 10
15 1, 3, 5, 15 4 24 9
16 1, 2, 4, 8, 16 5 31 15 வர்க்க எண்: σ0(n) ஒற்றையெண்; இரண்டின் அடுக்கு: s(n) = n − 1

பண்புகள்[தொகு]

n ஒரு வர்க்கமற்ற எண் எனில் அதன் ஒவ்வொரு வகுஎண் d , n இன் மற்றொரு வகுஎண் n/d இன் சோடியாக அமையும், இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.
n ஒரு வர்க்க எண் எனில் அதன் ஒரு வகுஎண் () n இன் வேறெந்தவொரு வகுஎண்ணுடனும் சோடியாக அமையாது, ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.
n வர்க்க எண்ணாகவோ அல்லது இரட்டை வர்க்க எண்ணாகவோ இருந்தால் மட்டுமே ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்.

p ஒரு பகாஎண் எனில்,

; σ(n) > nn > 2)

r = ω(n) என்பது n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை, pi - i ஆவது பகாகாரணி, n ஐ வகுக்கக்கூடிய வகுஎண் pi இன் அதிகபட்ச அடுக்கு ai எனில்:

இம்முடிவு கீழ்வரும் வாய்பாடுக்குச் சமானமானது:

x = 0 எனில் d(n) :

n = 24 எனில்,

இரு பகாக்காரணிகள் (p1 = 2; p2 = 3) உள்ளன. 24 = 23×31. எனவே a1 = 3; a2 = 1.
ஐக் கீழுள்ளவாறு கணக்கிடலாம்:
24 இன் எட்டுக் காரணிகள்:
1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24.
s(n) = σ(n) − n.
s(n), n இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது n நீங்கலாக, n இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது. நிறைவெண்களை அடையாளங்காண இச்சார்பு பயன்படுகிறது.
s(n) = n எனில், n ஒரு நிறைவெண்
s(n) > n எனில், n ஒரு மிகையெண்
s(n) < n எனில், n ஒரு குறைவெண்

n இரண்டின் அடுக்காக இருக்குமானால் ():

இதனால் n ஒரு கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்ணாக இருக்கும்.

தொடர்களில்[தொகு]

வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள இரு டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:

இதிலிருந்து d(n) = σ0(n):

வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள லாம்பெர்ட் தொடர்:

(குறிப்பிலா சிக்கலெண் |q| ≤ 1 and a)

குறிப்புகள்[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வகுஎண்_சார்பு&oldid=2698484" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது