வட்டக்கோணப்பகுதி

ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதி (பச்சை வண்ணம்)

வடிவவியலில் ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதி அல்லது ஆரைத்துண்டு (circular sector) என்பது ஒரு வட்ட வடிவ தகட்டின் இரு ஆரங்கள் மற்றும் அவ்வட்டத்தகட்டின் ஒரு வில் ஆகியவற்றால் அடைபெறும் வடிவமாகும். ஒரு வட்டத் தகடு இரு துண்டுகளாகப் பிரிக்கப்படும் பொழுது பெரிய வட்டவில்லால் அடைபெறும் பகுதி பெரிய வட்டக்கோணப்பகுதி என்றும் சிறிய வட்டவில்லால் அடைபெறும் பகுதி சிறிய வட்டக்கோணப்பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. படத்தில், θ மையக்கோணம் (ரேடியன்களில்), $r$ வட்டத்தின் ஆரம், $L$ சிறிய வட்டவில்லின் நீளம்.

180° மையக்கோணம் கொண்ட வட்டக்கோணப்பகுதி அரைவட்டம், 90° மையக்கோணம் கொண்ட வட்டக்கோணப் பகுதி காற்பகுதி (quadrants), 60° மையக்கோணம் கொண்ட வட்டக்கோணப் பகுதி அறுபகுதி (sextant) மற்றும் 45° மையக்கோணம் கொண்ட வட்டக்கோணப் பகுதி எண்பகுதி (octant) என சிறப்புப் பெயர்களால் அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு வட்டவில்லின் இரு முனைப்புள்ளிகளை வட்டத்தின் பரிதியின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கக் கிடைக்கும் கோணத்தின் அளவு அவ்வட்டவில் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தில் பாதியளவாக இருக்கும்.

பரப்பளவு

ஒரு முழு வட்டத்தின் பரப்பளவு: $\pi r^2$.

முழு வட்டத்தின் மையக்கோணம் :$2 \pi$

ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு அதன் மையக்கோணத்தின் விகிதத்தில் அமையும். எனவே வட்டக்கோணப்பகுதியின் மையக்கோணம் $\theta$ மற்றும் $2 \pi$ ஆகிய இரண்டின் விகிதத்தால் வட்டத்தின் பரப்பளவைப் பெருக்க வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு கிடைக்கும்:

$A = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{r^2 \theta}{2}$

வரையறுத்த தொகையீட்டின் மூலமாக:

$A = \int_0^\theta\int_0^r dS=\int_0^\theta\int_0^r \tilde{r} d\tilde{r} d\tilde{\theta} = \int_0^\theta \frac{1}{2} r^2 d\tilde{\theta} = \frac{r^2 \theta}{2}$

மையக்கோணத்தைப் பாகைகளாகக் கொண்டால்:

$A = \pi r^2 \cdot \frac{\theta ^{\circ}}{360}$

சுற்றளவு

ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதியின் வில்லின் நீளம் மற்றும் இரு ஆரங்களின் கூடுதல் அந்த வட்டக்கோணப்பகுதியின் சுற்றளவாகும்:

$P = L + 2r = \theta r + 2r = r \left( \theta + 2 \right)$

இங்கு θ ரேடியன்களில் தரப்படுகிறது.

நிறை மையம்

வட்டத்தின் மையத்திற்கும் வட்டக்கோணப்பகுதியின் நிறை மையத்திற்கும் (center of mass) இடையேயுள்ள தூரம், வட்டமையத்திற்கும் வட்டக்கோணப்பகுதியின் வில்லின் நிறை மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தில் 2/3 பங்காக இருக்கும். வட்டக்கோணப்பகுதியின் மையக்கோணத்தின் அளவு பூச்சியத்தை நெருங்க நெருங்க அதன் வில்லின் நிறை மையம், வட்ட மையத்திலிருந்து r அலகு தூரத்தில் இருக்கும். எனவே அப்பொழுது வட்ட மையத்திலிருந்து வட்டக்கோணப்பகுதியின் நிறை மையம் 2r/3 அலகு தூரத்தில் அமையும். மையக்கோணத்தின் அளவு 2π -ஐ நெருங்க நெருங்க, வில்லின் நிறை மையம் வட்ட மையத்துடன் ஒருங்கும். எனவே இந்நிலையில் வட்டக்கோணப்பகுதியின் நிறை மையமும் வட்ட மையத்துடன் ஒருங்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Gerard, L. J. V. The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic, London, Longman's Green, Reader & Dyer, 1874. p. 285

வெளி இணைப்புகள்

• Definition and properties of a circle sector with interactive animation
• Weisstein, Eric W., "Circular sector" from MathWorld.