மடக்கை

அடி 2, அடிe, அடி 10 ஆகியவற்றுக்கு வரையப்பட்ட மடக்கை

மடக்கை என்பது யாதாயினும் ஒரு எண் குறித்தவொரு எண்ணடியில் எத்தனை மடங்குகளாக அமையும்(எத்தனை தடவை பெருக்குப்படும்) என்பதை சுருக்கமாக வகைகுறிக்கும் ஒரு கணிதச் செய்கை ஆகும்.

எடுத்துக்கட்டாக 1000 ஐ 10³ என சுட்டி வடிவில் எழுதலாம்.

1000 = 10³

ஆகவே மட₁₀1000 = 3

அதாவது 10 மூன்று தடவை பெருக்கப்படுவதால் 1000 பெறப்படுகிறது.

இதேபோல்;

32 = 2⁵

ஆகவே மட₂32 = 5

இதன்படி அடி b க்கான மடக்கை X என்பது மட_bX எனக் குறிக்கப்படும்.

மடக்கை அட்டவணை ஜான் நேப்பியர் (கி.பி.1550-1617) என்பவரால் முன்வைக்கப்பட்டது. மடக்கை அட்டவணை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதன் மூலம் பெரிய எண்களைக் கொண்டமைந்த கணிதச் செய்கைகள் இலகுவாக்கப்பட்டன. இரு எண்களின் பெருக்கத்தை கண்பதற்கு மடக்கை மாற்றம் செய்யப்பட்ட பின் அவற்றை இலகுவாகக் கூட்டமுடியும்:

$\log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,$

மடக்கை அட்டவணை அல்லது வழுக்கி மட்டம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் பெறுமதியை நேரடியாகக் கண்டு பிரதியிடலாம்.

மடக்கை அட்டவணையைப் பயன்படுத்துதல்

மடக்கை அட்டவணையின் ஒரு பகுதிமாதிரி

மடக்கை அட்டவணையில் நிரலில் 1.0,1.1,1.2... எனக் குறிக்கப்பட்டுள்ள எண்கள் மடக்கை காணப்பட வேண்டிய எண்ணின் முதலிரு இலக்கங்களைக் குறிக்கும். மற்றைய இலக்கங்கள் நிரையில் காட்டப்பட்டவற்றால் கொள்ளப்படும். முதலில் எண் முதலாம் தசம நிலை கொண்ட நியம நிலைக்கு மாற்றப்படுதல் வேண்டும்.

எ.கா:

1.5 க்கு மடக்கைப் பெறுமதி காண்பதாயின் ; உண்மையில் மடக்கைப் பெறுமதி என்பது 1.5 =10^x எனக்கொண்டால் x இன் பெறுமதியே அட்டவணையில் தரப்படும்.

$\log(1.5) = 0.1761$ (சிவப்பால் வட்டமிடப்பட்டது)

15 க்கான மடக்கை; இதனை 1.5 X 10 ¹ என் நியம நிலையில் எழுதலாம். ஆகவே

$\log(15) = 1.1761$

1.04 க்கான மடக்கை

$\log(1.04) = 0.0170$ (நீலத்தால் வட்டமிடப்பட்டது)

மடக்கையைப் பயன்படுத்திப் பெருக்கல்

பெருக்குதல் செயற்பாடு ஒன்றைச் செய்வதற்கு அவற்றின் மடக்கைப் பெறுமதியைக் கண்டு அவற்றைக் கூட்டிப் பெற்ற தொகைக்கு முரண் மடக்கை காண்பதன் மூலம் அடையலாம். இது பெரிய சிக்கலான எண்களை பெருக்குவதை இலகுவாக்கும்.

எ.கா: 1.5 x 1.04 எனும் பெருக்கலைச் செய்வதாயின்,இதை மடக்கையாக மாற்றவேண்டும்.

$\log(1.5 *1.04 ) = \log (1.5) + \log(1.04 ). \,$

= 0.1761 + 0.0170

= 0.1931

இனி 0.1931க்கு முரண் மடக்கை அதாவது அட்டவணையில் உட்பெறுமதியாக இருக்கும் இடத்தின் நிலைகளைக் கண்டறிதல் வேண்டும். இது 1.56 ஆகும். (பச்சையால் குறிக்கப்பட்டது).

எனவே: 1.5 x 1.04 = 1.56

மடக்கை அடையாளங்கள்

மடக்கையைத் தொடர்புபடுத்தி அமைக்கப்படும் பல்வேறு வாய்ப்பாடுகள் காணப்படுகின்றன. இவை மடக்கை அடையாளங்கள் எனப்படும்.

பெருக்கல், வகுத்தல், வலுவளவு மற்றும் வர்க்கமூலம்

இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:

$\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y. \,$

இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:

$\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b x - \log_b y. \,$

ஒரு எண்ணின் pவலுவளவின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:

$\log_b(x^p) = p \log_b x. \,$

ஒரு எண்ணின் pமூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :

$\log_b(\sqrt[p]x\,) = \frac {\log_b x}p. \,$

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் இவ்விதிகளை விளக்கும்:

$\log_3 243 = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5 \,$

$\log_2 16 = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4$

$\log_2 64 = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 2 = 6 \,$

$\log_{10}\!\left(\!\sqrt{1000}\,\right) = \frac{1}{2}\log_{10}(1000) = \frac{3}{2} = 1.5$

எண்ணடிகளை மாற்றுதல்

log_b(x) எனும் x , b உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான எண்ணடியான k க்கு மாற்றுவதாயின்:

$\log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}.\,$

இவ்வாறே கணிப்பான்களில் எண்ணடி 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:

$\log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,$

அதாவது தரப்பட்ட எண் x மற்றும் அதன் மடக்கை log_b(x) தெரிந்த எண்ணடி b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:

$b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.$