மடக்கை

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
Graph showing three logarithm curves, which all cross the x-axis where x is 1 and extend towards minus infinity along the y axis. Curves for smaller bases are just amplified versions of curves for larger bases.
அடிமானம் 2, அடிமானம் e, அடிமானம் 10 ஆகியவற்றுக்கு வரையப்பட்ட மடக்கை

மடக்கை (Logarithm) என்பது யாதாயினும் ஒரு எண், மற்றொரு குறித்தவொரு எண்ணின் (அடிமானம் அல்லது எண்ணடி) எத்தனை அடுக்குகளாக அமையும் (எத்தனை தடவை பெருக்குப்படும்) என்பதை சுருக்கமாக வகைகுறிக்கும் ஒரு கணிதச் செய்கை ஆகும்.


எடுத்துக்கட்டாக 1000103 என சுட்டி வடிவில் எழுதலாம்.

1000 = 103

ஆகவே மட101000 = 3

அதாவது 10 மூன்று தடவை பெருக்கப்படுவதால் 1000 பெறப்படுகிறது.

இதேபோல்;

32 = 25

ஆகவே மட232 = 5

இதன்படி அடி b க்கான மடக்கை X என்பது மடbX எனக் குறிக்கப்படும்.

மடக்கை அட்டவணை ஜான் நேப்பியர் (கி.பி.1550-1617) என்பவரால் முன்வைக்கப்பட்டது. மடக்கை அட்டவணை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதன் மூலம் பெரிய எண்களைக் கொண்டமைந்த கணிதச் செய்கைகள் இலகுவாக்கப்பட்டன. இரு எண்களின் பெருக்கத்தை கண்பதற்கு மடக்கை மாற்றம் செய்யப்பட்ட பின் அவற்றை இலகுவாகக் கூட்டமுடியும்:

 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,

மடக்கை அட்டவணை அல்லது வழுக்கி மட்டம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் பெறுமதியை நேரடியாகக் கண்டு பிரதியிடலாம்.

அடிமானம் 10 கொண்ட மடக்கை சாதாரண மடக்கை எனவும், அடிமானம் e (≈ 2.718) கொண்ட மடக்கை இயற்கை மடக்கை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. சாதாரண மடக்கை அறிவியலிலும் பொறியியலிலும் அதிகப்பயன்பாடும், இயற்கை மடக்கை கணிதத்தில், குறிப்பாக நுண்கணிதத்திலும் அதிக பயன்பாடு கொண்டுள்ளன. அடிமானம் 2 கொண்ட மடக்கை கணினி அறிவியலில் அதிகப் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது.

மடக்கை அட்டவணையைப் பயன்படுத்துதல்[தொகு]

மடக்கை அட்டவணையின் ஒரு பகுதிமாதிரி

மடக்கை அட்டவணையில் நிரலில் 1.0,1.1,1.2... எனக் குறிக்கப்பட்டுள்ள எண்கள் மடக்கை காணப்பட வேண்டிய எண்ணின் முதலிரு இலக்கங்களைக் குறிக்கும். மற்றைய இலக்கங்கள் நிரையில் காட்டப்பட்டவற்றால் கொள்ளப்படும். முதலில் எண் முதலாம் தசம நிலை கொண்ட நியம நிலைக்கு மாற்றப்படுதல் வேண்டும்.

எ.கா:

1.5 க்கு மடக்கைப் பெறுமதி காண்பதாயின் ; உண்மையில் மடக்கைப் பெறுமதி என்பது 1.5 =10x எனக்கொண்டால் x இன் பெறுமதியே அட்டவணையில் தரப்படும்.

 \log(1.5) = 0.1761 (சிவப்பால் வட்டமிடப்பட்டது)
15 க்கான மடக்கை; இதனை 1.5 X 10 1 என் நியம நிலையில் எழுதலாம். ஆகவே
 \log(15) = 1.1761
1.04 க்கான மடக்கை
 \log(1.04) = 0.0170 (நீலத்தால் வட்டமிடப்பட்டது)

மடக்கையைப் பயன்படுத்திப் பெருக்கல்[தொகு]

பெருக்குதல் செயற்பாடு ஒன்றைச் செய்வதற்கு அவற்றின் மடக்கைப் பெறுமதியைக் கண்டு அவற்றைக் கூட்டிப் பெற்ற தொகைக்கு முரண் மடக்கை காண்பதன் மூலம் அடையலாம். இது பெரிய சிக்கலான எண்களை பெருக்குவதை இலகுவாக்கும்.

எ.கா: 1.5 x 1.04 எனும் பெருக்கலைச் செய்வதாயின்,இதை மடக்கையாக மாற்றவேண்டும்.

 \log(1.5 *1.04 ) = \log (1.5) + \log(1.04 ). \,
= 0.1761 + 0.0170
= 0.1931

இனி 0.1931க்கு முரண் மடக்கை அதாவது அட்டவணையில் உட்பெறுமதியாக இருக்கும் இடத்தின் நிலைகளைக் கண்டறிதல் வேண்டும். இது 1.56 ஆகும். (பச்சையால் குறிக்கப்பட்டது).

எனவே: 1.5 x 1.04 = 1.56

மடக்கை முற்றொருமைகள்[தொகு]

மடக்கையைத் தொடர்புபடுத்தி அமைக்கப்படும் பல்வேறு வாய்ப்பாடுகள் காணப்படுகின்றன. இவை மடக்கை முற்றொருமைகள் எனப்படும். [1]

பெருக்கல் முற்றொருமை[தொகு]

இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:

 \log_b(x y) = \log_b x + \log_b y. \,

வகுத்தல் முற்றொருமை[தொகு]

இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:

\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b x - \log_b y. \,

அடுக்கு காணல் முற்றொருமை[தொகு]

ஒரு எண்ணின் p அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:

\log_b(x^p) = p \log_b x. \,

அடுக்கு காணல் முற்றொருமை[தொகு]

ஒரு எண்ணின் p மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :

\log_b(\sqrt[p]x\,) = \frac {\log_b x}p. \,

எடுத்துக்காட்டுகள்:

 \log_3 243 = \log_3(9 \times 27) = \log_3 9 + \log_3 27 =  2 + 3 = 5 \,
 \log_2 16 = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4
 \log_2 64 = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 2 = 6 \,
 \log_{10}\!\left(\!\sqrt{1000}\,\right) =  \frac{1}{2}\log_{10}(1000) = \frac{3}{2} = 1.5

அடிமானங்களை மாற்றுதல்[தொகு]

logb(x) எனும் x , b உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான k க்கு மாற்றுவதாயின்:

 \log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}.\,

இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:

 \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,

அதாவது தரப்பட்ட எண் x மற்றும் அதன் மடக்கை logb(x) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

குறிப்பிட்ட அடிமானங்கள்[தொகு]

அடிமானங்களில் b = 10, b = e ( ≈ 2.71828), b = 2 மூன்றும் குறிப்பிடத் தக்கவை. கணிதத்தில் அடிமானம் e அதிகம் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. அடிமானம் 10, தசம எண்மான முறையில் கணக்கீடுகளை எளிதாகச் செய்யப் பயன்படுகிறது[2]

கீழ்க்காணும் அட்டவணை இந்த அடிமானங்களில் அமைந்த மடக்கைகளின் பொதுவான குறியீடுகளையும் அவை பயன்படும் துறைகளையும் தருகிறது. பல துறைகளில் logb(x) க்குப் பதில் log(x) என எழுதப்படுகிறது. அடிமானங்கள் அந்தந்த சூழ்நிலைக்கேற்பத் தீர்மானித்துக் கொள்ளப்படுகிறது. சில இடங்களில் குறியீடு, blog(x) -ம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[3] ஐஎஸ்ஓ குறியீடு நிரல் சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம் தரும் குறியீடுகளைத் தருகிறது. (ISO 31-11).[4]

அடிமானம் b logb(x) இன் பெயர் ISO குறியீடு ஏனைய குறியீடுகள் பயன்பாடு
2 ஈரடிமான மடக்கை lb(x)[5] ld(x), log(x), lg(x) கணனி அறிவியல், தகவற் கோட்பாடு, கணிதம்
e இயற்கை மடக்கை ln(x)[nb 1] log(x)
(கணிதம், பல நிரல் மொழிகள் [nb 2])
கணித பகுவியல், இயற்பியல், வேதியியல்,
புள்ளியியல், பொருளியல் மற்றும் சில பொறியியல் துறைகள்
10 சாதாரண மடக்கை lg(x) log(x)
(பொறியியல், உயிரியல், வானியல்),
பல்வேறு பொறியியல் துறைகள்,
மடக்கை அட்டவணைகள் tables, கணிப்பான்கள்

ஆதாரங்கள்[தொகு]

  1. All statements in this section can be found in (Shailesh Shirali 2002), (Douglas Downing 2003), or (Kate & Bhapkar 2009), for example.
  2. Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, p. 275
  3. Franz Embacher; Petra Oberhuemer (in German), Mathematisches Lexikon, mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html, பார்த்த நாள்: 22/03/2011 
  4. B. N. Taylor (1995), Guide for the Use of the International System of Units (SI), US Department of Commerce, http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2 
  5. Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9 
  6. Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4 
  7. Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, p. xiii, http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q= 
  8. Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8, http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln 

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Some mathematicians disapprove of this notation. In his 1985 autobiography, Paul Halmos criticized what he considered the "childish ln notation," which he said no mathematician had ever used.[6] The notation was invented by Irving Stringham, a mathematician.[7][8]
  2. For example C, Java, Haskell, and BASIC.

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=மடக்கை&oldid=1746175" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது