கணம் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
(கணக்கோட்பாடு இலிருந்து வழிமாற்றப்பட்டது)
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், கணம் அல்லது தொடை (set) என்பது பல்வேறு பொருள்களின் திரட்டு அல்லது தொகை ஆகும். இது மிகவும் எளிய கருத்தாகத் தோன்றினாலும், கணிதத்தின் ஓர் ஆழம் உடைய அடிப்படைக் கருத்துருக்களில் ஒன்றாக இது விளங்குகிறது. கணம் அல்லது தொடை என்பதில் உள்ள பொருட்களை உறுப்புகள் என்பர். எடுத்துக்காட்டாக 4, 7, 9 ஆகிய எண்களை ஒரு தொகுதியாகக் கொண்டு அதனை C என்னும் பெயர் கொண்ட ஒரு கணமாகக் கொண்டால், C யின் உறுப்புகள் 4, 7, 9 என்பன ஆகும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை நெளிந்த அடைப்புக் குறிகளுக்கு இடையே குறிப்பது வழக்கம். எடுத்துக்காட்டாக C என்னும் கணத்தை C = {4, 7, 9} என்று குறிப்பர். கணத்தில் அளவிடக்கூடிய எண்ணிக்கையுடைய உறுப்புகள் இருப்பவையும் உண்டு, அளவிட இயலா எண்ணிக்கை உடைய உறுப்புகள் கொண்ட கணங்களும் உண்டு. ஒல்லத்தக்க (இயலக்கூடிய) கணங்களின் அமைப்புகளையும் தொடர்புகளையும் பற்றிய கோட்பாடுகளுக்கு கணக் கோட்பாடு என்று பெயர். இத்துறை மிகவும் வளமையானது.

கணக் கோட்பாடு, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியிலேயே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட போதிலும், இது தொடக்க வகுப்புக்களிலேயே அறிமுகப் படுத்தப்பட்டு, கணிதக் கல்வியில் எங்கும் காணப்படும் ஒரு பகுதியாக ஆகியுள்ளது. தற்காலக் கணிதக் கல்விக்குப் பயன்படும் அடிப்படைக் கணித மொழிகளில் இது முக்கியமானவற்றுள் ஒன்றாகும்.

வரைவிலக்கணம்[தொகு]

கணம் அல்லது தொடை என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருட்களின் ஒரு தொகுப்பு ஆகும். கணமொன்றிலுள்ள பொருட்கள் உறுப்புகள் (elements) எனப்படுகின்றன. கணமொன்றின் உறுப்புகள், எண்கள், மக்கள், எழுத்துக்கள், வேறு கணங்கள் என எதுவாகவும் இருக்கலாம். கணங்களை A, B, C, முதலிய ஆங்கில அகர வரிசையின் பெரிய (தலைப்பு) எழுத்துக்களினால் குறிப்பது மரபு. A யும் B யும் ஆகிய இரண்டு கணங்களும் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பின், அவையிரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று ஈடாகும் (சமனாகும்). அதாவது A யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் B யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஈடு (=சமம்) எனின் A = B எனக் குறிக்கப்படும்.

கணிதத்தில் பொதி அல்லது பல்கு கணம் என்னும் வகையைப் போல் அல்லாது, ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் இரண்டோ பலவோ ஒத்ததாக இருத்தல் கூடாது (As opposed to a multiset and a real-life collection, a set cannot contain multiple copies of an element).

கணங்களைப் பற்றிய விரிவான விளக்கம்[தொகு]

சொற்கள் அல்லது பட்டியல்களைப் பயன்படுத்தி விளக்குதல்[தொகு]

எல்லாக் கணங்களையும் சரியாக விரித்துரைக்க முடியும் என்றில்லை. அவை, எந்தெந்தப் பொருட்களை உள்ளடக்கியுள்ளன, எவற்றை உள்ளடக்கவில்லை என்பதை விளக்க முடியாத வகையில், அமைந்த பொருட்களின் தொகுதியாகவும் இருக்கவும் கூடும்.

சில கணங்களைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

A என்பது முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.
B என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

வழக்குப்படி, நெளிந்த அடைப்புக் குறிக்குள் உறுப்புக்களைப் பட்டியலிடுவதன் மூலமும், கணங்களை வரையறுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

C = {4, 2, 1, 3}
D = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}

இரண்டு வெவ்வேறு விதமான விளக்க உரை மூலம் ஒரே கணத்தை வரையறுக்க முடியும் என்பதைக் கவனிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களுள் A யும் C யும் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பதால், முற்றுமொத்தவை (identical). சுருக்கமாக A = C என்பதன்மூலம் இந்த சமன்மை அல்லது ஈடுண்மை (Equality) குறித்துக் காட்டப்படுகின்றது. இதேபோல, B = D ஆகும்.

கணங்களுக்கிடையே முற்றொருமையானது கண உறுப்புகளின் வரிசை ஒழுங்கிலோ அல்லது ஒரே உறுப்பு திரும்பத்திரும்ப வருவதிலோ தங்கியிருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, {3, 9} = {9, 3} = {9, 9, 3, 9}.

கணிதக் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி விளக்கம்[தொகு]

முதன்மைக் கட்டுரை: கணம் குறியீடுகள்

ஏராளமான உறுப்புக்களைக் கொண்ட, பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புக்களையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் மிகவும் கடினமானது. எடுத்துக்காட்டாக, E = {முதல் ஆயிரம் நேர் முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விரித்துரைப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவர்:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட E போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விளக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளிக் (ellipsis) (...) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது. இக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புக்கள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:

X = {1, 2, ..., 16}

அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக,

F = {–4, –3, 0, ..., 357}

என்பதை வாசிக்கும்போது,

F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்}.

என்பது வெளிப்படையாகத் தெளிவாகவில்லை. இவ்வாறான இடங்களில், கணத்தை விளக்குவதற்கு கணிதக் குறியீடுகளையும் சில மரபான குறிப்பு மொழிகளையும் கணிதவியலாளர் பயன்படுத்துவர். எடுத்துக்காட்டாக:

F = {n^2 – 4 : n ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ n ≤ 19}

மேற்கண்ட விளக்கத்தில் முக்கால் புள்ளி அல்லது விளக்கக்குறி (:) என்பதனை "எப்படி எனில்" அல்லது ஆங்கிலத்தில் such that என்று படிக்க வேண்டும். எனவே மேற்கண்ட F என்னும் கணத்தின் உறுப்புகளாவன n^2 – 4 என்னும் வகையான எண்களாகும் - எப்படி எனில் n என்னும் முழு எண்ணானது 0 முதல் 19 வரை, இவ்விரு எண்களும் உட்பட, உள்ள எண்களாகும். முக்கால் புள்ளி (:)என்னும் விளக்கக் குறிக்குப் பதிலாக சில நேரங்களில் பைப் (pipe) என்னும் நெடுங்கோடும் | குறியாகப் பயன்படுத்தப்படும்.

கண உறுப்பு[தொகு]

முதன்மைக் கட்டுரை: உறுப்பு (கணிதம்)

ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்துவர். \in and \notin. எடுத்தக்காட்டாக, மேலே A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிப்பர்.

  • 4 \in A

அதே போல 285 என்னும் எண் F என்னும் கணத்தில் உள்ள ஓர் உறுப்பு. அதனைக்காட்ட

  • 285 \in F (since 285 = 17² − 4); என எழுதுவர்.

ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிப்பர்

  • 9 \notin F and \mathrm{green}\ \notin B. (இந்திய கொடியில் பச்சை ஒரு நிறம் இல்லை).

கணங்களின் எண் அளவை (Cardinality of a set)[தொகு]

மேலே விரித்துரைக்கப்பட்ட கணங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையுள்ள உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக கணம் A நான்கு உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது, Bம் நான்கு உறுப்புக்களைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு கணம் உறுப்புக்கள் எதுவுமற்ற கணமாகவும் இருத்தலும் கூடும். அத்தகைய கணம் வெற்றுக் கணம் எனப்படும். இது ø என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக மூன்று பக்கங்களையுடைய சதுரங்களின் கணம் A என்று கூறினால் A என்பது உறுப்புக்கள் எதுவுமற்ற கணம் ஆகும். அதனால் A = ø என எழுதுவர். சுழி (சூனிய) எண் போல, வெற்றுக் கணம் எளிமையாகத் தோன்றினாலும், வெற்றுக் கணம் கணிதத்தில் மிக முக்கியமானதாகும்.

வெற்றுக் கணம் பற்றி மேலும் தகவல் அறிய வெற்றுக் கணம் பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

ஒரு கணம் முடிவிலி எண்ணிக்கையான உறுப்புக்களையும் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக எல்லா இயல்பெண்களினதும் கணம் ஒரு முடிவிலியாகும்.

முடிவிலி மற்றும் கணங்களின் அளவு பற்றி மேலும் தகவல்களைப் பெற எண் அளவை (cardinality) மற்றும் முதலெண் (cardinal number) பக்கங்களைப் பார்க்கவும்.

முடிவுள்ள கணம் மற்றும் அதனைக் கணக்கிடுதல் ஆகியவை பற்றிய மேலும் தகவல்கள் அறிய சேர்வியல் மற்றும் வரிசைமாற்றமும், சேர்மானமும் (permutations and combinations) பக்கங்களைப் பார்க்கவும். n உறுப்புகள் உள்ள ஒரு கணத்தை n-கணம் என்று சொல்லும் வழக்கமும் உண்டு.

உட்கணங்கள்[தொகு]

A என்னும் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் B என்னும் வேறு ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக இருப்பின், A என்னும் கணமானது B என்னும் கணத்தின் உட்கணம் (Subset) எனப்படும். இதனைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிவடிவில் குறிப்பர். A \subseteq B. இதனைப் படிக்கும் பொழுது A ஆனது B யுள் அடங்கும். அல்லது A ஆனது B யின் உட்கணம். வேறொரு ஈடான (சமமான) முறையில் சொல்வதானால் B \supseteq A; அதாவது இதனைப் படிக்கும் பொழுது 'B ஆனது A யைக் கொள்ளும் கணம் ., அல்லது 'B ஆனது A யைச் சூழும் கணம் " அல்லது B ஆனது A யை அடக்குக் கணம் என்று படித்தல் வேண்டும். இந்த கணிதத் தொடர்பை உட்கொள்ளுமை அல்லது அடக்குமை என்று குறிப்பர். B யை A யின் மேற்கணம் (Superset) என்றும் சொல்வதுண்டு.

A என்னும் கணம் B யின் உட்கணமாக இருந்து B யுக்கு ஈடாக (சமமாக) இல்லாமல் இருந்தால், A ஆனது B யின் தக்க உட்கணம் (proper subset) என்பர். இதனை கீழ்க்காணுமாறு எழுதுவர். A \subset B (A என்பது B யின் தக்க உட்கணம்) அல்லது B \supset A (B ஆனது A யின் தக்க கொள்ளும் கணம்). என்றாலும் சில கணித எழுத்துக்களில் இக்குறியீடுகள் ஒரே மாதிரியாகவே படிப்பர். \subseteq மற்றும் \supseteq, எனவே தக்க உட்கணங்களைத் தெளிவாக உணர்த்துவதற்கு பிரித்தறியும் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தல் நலம். \subsetneq மற்றும் \supsetneq

A என்னும் கணம் B யின் உட்கணம்
A ஆனது B யின் உட்கணம்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • T எல்லா ஆண்களையும் கொண்ட கணமானது மாந்தர்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தின் தக்க உட்கணம் ஆகும்.
  • \{1,3\} \subset \{1,2,3,4\}
  • \{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\}

வெற்றுக்கணம் எல்லா கணங்களின் உட்கணம் ஆகும். அதேபோல எல்லாக் கணங்களும் அதனதனுடைய உட்கணமும் ஆகும்.

  • \emptyset \subseteq A
  • A \subseteq A

சிறப்புக் கணங்கள்[தொகு]

அதிக அளவு இன்றியமையாமை காரணமாகவும், அடிக்கடி புழங்கப்படுவதாலும், சில கணங்கள் சிறப்புப் பெயர்களால் அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றுள் ஒன்று வெற்றுக் கணம் ஆகும். எண்களைக்கொண்ட சில சிறப்புக் கணங்களாவன:

  • \mathbb{N} என்பது, எல்லா இயல்பெண்களினதும் கணத்தைக் குறிக்கின்றது. அதாவது, \mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}, அல்லது, சில சமயங்களில் \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...}.
  • \mathbb{Z} என்பது, எல்லா முழுஎண்களினதும் (integers) கணத்தைக் குறிக்கின்றது. (நேர், எதிர், சூனியம் எதுவாயினும்). ஆகவே \mathbb{Z} = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
  • \mathbb{Q} என்பது, எல்லா விகிதமுறு எண்களினதும் (rational number) கணத்தைக் குறிக்கும். (that is, the set of all proper and improper fractions). ஆகவே, \mathbb{Q} = {\begin{matrix} \frac{a}{b} \end{matrix} : a,b \in \mathbb{Z} and b ≠ 0}. எடுத்துக்காட்டாக, \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q} and \begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}. ஒவ்வொரு முழு எண் a உம் ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கப்படலாம் என்பதால், எல்லா முழு எண்களும் இந்தக் கணத்தில் உள்ளன. \begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}.
  • \mathbb{R} என்பது எல்லா மெய்யெண்களினதும் கணமாகும். இந்தக் கணம் எல்லா விகிதமுறு எண்களையும், (rational numbers) அத்துடன் எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் (irrational numbers) உள்ளடக்கியுள்ளது. (அதாவது, \pi, e, and √2 என்பவைபோலப் பின்னங்களாக எழுதமுடியாத எண்கள்).
  • \mathbb{C} என்பது எல்லாச் சிக்கலெண்களினதும் (complex number) கணம்.

இந்த எண்களைக்கொண்ட கணங்கள் ஒவ்வொன்றும், முடிவிலி எண்ணளவுகளைக் கொண்டது. அத்துடன், \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.

ஒன்றிப்புகள்[தொகு]

முதன்மைக் கட்டுரை: சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)

ஏற்கெனவேயுள்ள கணங்களிலிருந்து புதிய கணங்களை உருவாக்குவதற்குப் பல வழிகள் உள்ளன. இரண்டு கணங்களைக் "கூட்ட" முடியும். A இனதும் B இனதும் ஒன்றிப்பு A U B என்பதால் குறிக்கப்படும். இதுவே A அல்லது B இன் உறுப்புக்களாக இருந்த எல்லாப் பொருட்களையும் கொண்ட கணமாகும்.

A ஒன்றிப்பு B

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • {1, 2} U {red, white} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை}
  • {1, 2, green} U {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
  • {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

ஒன்றிப்பின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  • A U B   =   B U A
  • A  is a subset of  A U B
  • A U A   =  A
  • A U ø   =  A

வெட்டுகள்[தொகு]

முதன்மைக் கட்டுரை: வெட்டு (கணக் கோட்பாடு)

(Intersections) கணங்களுக்கு இடையே உள்ள பொது உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு புதுக் கணம் பெற முடியும். இதற்கு வெட்டுதல் என்றும் பெயர். A என்னும் கணமும் B என்னும் கணமும் வெட்டு உற்றால் கிடக்கும் கணத்தில் உள்ள உறுப்புகள் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டிற்கும் பொதுவாக உள்ள உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டு இருக்கும். A யும் B யும் வெட்டுதலை A ∩ B என்று குறிப்பர். . A ∩ B  =  ø, என்றால் A யும் B யும் தொடர்பற்றவை. (disjoint).

A intersect B
A மற்றும் B கணங்களின் வெட்டு

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • {1, 2} ∩ {red, white} = ø
  • {1, 2, green} ∩ {red, white, green} = {green}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

வெட்டுக்களின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  • A ∩ B   =   B ∩ A
  • A ∩ B   என்னும் கணம்   A  இன் உட்கணம் ஆகும்.
  • A ∩ A   =   A
  • A ∩ ø   =   ø

கணங்களின் வெட்டு பற்றி மேலும் தகவல் அறிய வெட்டு (கணக் கோட்பாடு) பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

நிரப்பிகள்[தொகு]

(Complements) இரு கணங்கள் ஒன்றில் இருந்து ஒன்றை கழிக்க முடியும். கழிக்கப்பட்ட கணம் முதல் கணத்தின் நிரப்பிக் கணம் என பெயர் கொள்ளும். அதாவது A என்னும் கணத்தின் ஒப்பீட்டு நிரப்பிக் கணம் B என்பதை B − A, (or B \ A) எனக் குறிப்பர். இந்த B − A, (or B \ A) என்னும் கணமானது A யில் இல்லாது ஆனால் B யில் மட்டும் உள்ள எல்லா உறுப்புகளும் கொண்ட கணமாகும். ஒரு கணத்தில் இல்லா உறுப்புகளை நீக்குதல் (கழித்தல்) ஒரு சரியான செயலே. எடுத்துக்காட்டாக green (பச்சை) என்பதை {1,2,3} என்னும்கணத்தில் இருந்து கழிக்கலாம் - இதனால் விளைவு ஏதுல் இல்லை (ஏனெனில் இல்லாததைத்தானே நீக்குகிறோம்!).

சில நேரங்களில் எல்லாக் கணங்களும் ஒரு அனைத்துக்கணம், U , என்று வரையரை செய்யப்பட்ட கணத்தின் உட்கணங்களாகக் கொள்ளப்படும். அப்படிப்பட்ட சூழல்களில், U − A, is எனப்படுவது முழு நிரப்பி ( absolute complement) எனப்படும் அல்லது A யின் நிரப்பி என்று கூறப்படும். இதனை A′ எனக் குறிப்பர்.

B minus A
The relative complement
of A in B
A complement
The complement of A in U

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • {1, 2} − {red, white} = {1, 2}
  • {1, 2, green} − {red, white, green} = {1, 2}
  • {1, 2} − {1, 2} = ø
  • U என்பது நேர்ம முழு எண்கள் எல்லாவற்றையும் கொண்ட ஒரு கணம் என்று கொண்டால், பின்னர் E என்னும் கணம் இரட்டைப்படை எண்களைக் குறிக்கும் என்றும், O என்னும் கணம் ஒற்றைப்படை எண்களைக் குறிக்கும் என்றும் கொண்டால் U வில் E யின் நிரப்பியானது O ஆகும், வேறு வகையில் ஈடாகக் கூற வேண்டுமெனில் E′ = O எனலாம்.

நிரப்பிகளின் சில அடிப்படை இயல்புகள்:

  • A U A′ = U
  • A ∩ A′ = ø
  • (A′ )′ = A
  • A − A = ø
  • A − B = A ∩ B′

கணங்களின் நிரப்பிகள் பற்றி மேலும் தகவல் அறிய நிரப்பி (கணக் கோட்பாடு) பக்கத்தைப் பார்க்கவும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

உசாத்துணைகள்[தொகு]

  • Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
  • Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=கணம்_(கணிதம்)&oldid=1485471" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது