ஒரு கணத்தின் பிரிவினை

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
அஞ்சல் தலைகளின் கணமொன்று சிறுசிறு கட்டுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கட்டுகளில் எதுவும் காலியாக இல்லை. மற்றும் எந்தவொரு அஞ்சல் தலையும் இரு கட்டுகளில் இல்லை.
5 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் 52 பிரிவுகள்

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை (partition of a set) என்பது அக்கணத்தை ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதாகும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்தால் பிரிக்கப்பட்ட முழுக்கணமும் கிடைக்கும். மேலும் அச் சிறுபகுதிகள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாதவையாகவும் இருக்கும்.

வரையறை[தொகு]

X என்ற கணத்தின் பிரிவினை என்பது X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு x ம் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்பட்ட X இன் வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், செய்தால் மட்டுமே P என்ற கணம் X இன் பிரிவினையாக இருக்க முடியும்:

  1. P இன் உறுப்புகளில் எதுவும் வெற்றுக் கணம் இல்லை.
  2. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களின் ஒன்றிப்பு, X கணமாகும்.
  3. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களில் எந்த இரு கணங்களின் வெட்டும் வெற்றுக் கணம்.

கணிதக் குறியீட்டில் இந்நிபந்தனைகள்:

  1. \varnothing \notin P
  2. \bigcup P = X
  3. (A \in P \and B\in P \and A \neq B) \Rightarrow A \cap B = \varnothing

இங்கு \varnothing -வெற்றுக் கணம்.

P இன் உறுப்புகள் பிரிவினையின் தொகுதிகள், பகுதிகள் அல்லது சிற்றறைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன[1]. P இன் தரம் |X| − |P| (X முடிவுறு கணமாக இருந்தால்).

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • ஒவ்வொரு ஓருறுப்பு கணத்திற்கும் ஒரேயொரு பிரிவினைதான் உண்டு.
கணம் {x} இன் ஒரேயொரு பிரிவினை { {x} }.
  • வெற்றில்லா கணம் X இற்கு, P = {X} என்பது X இன் மிகஎளிய பிரிவினையாகும் (trivial partition).
  • U கணத்தின் ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணம் A மற்றும் அதன் நிரப்பு கணம் இரண்டும் ({A, UA}) U இன் பிரிவினையாக அமையும்.
  • { 1, 2, 3 } கணத்திற்கு 5 பிரிவினைகள் உண்டு:
    • { {1}, {2}, {3} }. இதனை 1|2|3 எனவும் எழுதலாம்.
    • { {1, 2}, {3} }, அல்லது 12|3.
    • { {1, 3}, {2} }, அல்லது 13|2.
    • { {1}, {2, 3} }, அல்லது 1|23.
    • { {1, 2, 3} }, அல்லது 123
  • பின்வருபவை { 1, 2, 3 } கணத்தின் பிரிவினைகள் அல்ல:
    • { {}, {1, 3}, {2} } (இதில் ஒரு உறுப்பு வெற்றுக் கணமாக இருப்பதால்)
    • { {1, 2}, {2, 3} } ( 2, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகுதிகளில் உள்ளதால்)
    • { {1}, {2} } (எந்தவொரு பகுதியிலும் 3 இல்லாததால்).

பிரிவினையும் சமான உறவும்[தொகு]

கணம் X இல் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவைப் பொறுத்த சமானப் பகுதிகளின் கணம் X பிரிவினையாக அமையும். மறுதலையாக P of X இன் ஒரு பிரிவு P லிருந்து X இல் ஒரு சமான உறவை வரையறுக்கலாம்:

x , y ஆகிய இரண்டு உறுப்புகள் P இன் ஒரே பகுதியில் அமைந்தால் x ~ y. எனவே சமான உறவு மற்றும் பிரிவினை என்ற இரண்டு கருத்துக்களும் சமானமானவை.[2]

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Brualdi, pp. 44–45
  2. Schechter, p. 54

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (4th edition ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-100119-1. 
  • Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. 
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=ஒரு_கணத்தின்_பிரிவினை&oldid=1438459" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது