முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

கணிதத்தில் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை (integer-valued polynomial அல்லது numerical polynomial) $P(t)$ என்பது, n இன் ஒவ்வொரு முழு எண் மதிப்பிற்கும் $P(n)$ இன் மதிப்பும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்குமாறுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும் முழுவெண் கெழுக்களையுடைய ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை. அதாவது முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அனைத்தும் முழுவெண் கெழுக்களைக் கொண்டிருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக:

{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)

t முழுவெண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் t , $t+1$ இரண்டும் அடுத்தடுத்த முழுவெண்கள் என்பதால் இரண்டிலொன்று இரட்டையெண்ணாக இருக்கும். எனவே ${\frac {1}{2}}t(t+1)$ இன் மதிப்பு முழுவெண்ணாக இருக்கும். அதாவது எடுத்துக்காட்டுக் கோவை முழுவெண்மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை. ஆனால் அதன் கெழுக்கள் முழுவெண்களாக இல்லாமல் விகிதமுறு எண்களாக உள்ளன. (இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பாக அமையும் முழுவெண்கள் முக்கோண எண்களாக இருக்கும்.)

இயற்கணிதத்திலும் இயற்கணித இடவியலிலும் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இடம்பெறுகின்றன.^[1]

முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகைப்பாடானது ஹங்கேரியக் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் போல்யாவால் (George Pólya (1915)) முழுவதுமாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. விகிதமுறு எண் கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் ( $\mathbb {Q} [t]$ ) உள்வளையமாக அமையும் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு கட்டற்ற ஏபலின் குலமாகும். இதன் அடுக்களமாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்:

P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!,

k=0,1,2,\dots

(ஈருறுப்புக் குணகங்கள்).

அதாவது எந்தவொரு முழுவெண் மதிப்புடைய பல்லுறுக்கோவையையும் ஈருறுப்புக்கெழுக்களின் முழுவெண் நேரியல் சேர்வாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

3t(3t + 1)/2 =

9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}.

மேற்கோள்கள்

↑ Johnson, Keith (2014), "Stable homotopy theory, formal group laws, and integer-valued polynomials", in Fontana, Marco; Frisch, Sophie; Glaz, Sarah (eds.), Commutative Algebra: Recent Advances in Commutative Rings, Integer-Valued Polynomials, and Polynomial Functions, Springer, pp. 213–224, ISBN 9781493909254. See in particular pp. 213–214.

இயற்கணிதம்

Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997), Integer-valued polynomials, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 48, Providence, RI: American Mathematical Society, MR 1421321
Pólya, George (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Palermo Rend. (in German), 40: 1–16, ISSN 0009-725X, JFM 45.0655.02{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

இயற்கணித இடவியல்

Baker, Andrew; Clarke, Francis; Ray, Nigel; Schwartz, Lionel (1989), "On the Kummer congruences and the stable homotopy of BU", Transactions of the American Mathematical Society, 316 (2): 385–432, doi:10.2307/2001355, JSTOR 2001355, MR 0942424

Ekedahl, Torsten (2002), "On minimal models in integral homotopy theory", Homology, Homotopy and Applications, 4 (2): 191–218, doi:10.4310/hha.2002.v4.n2.a9, MR 1918189, Zbl 1065.55003

Elliott, Jesse (2006). "Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings". Journal of Pure and Applied Algebra 207 (1): 165–185. doi:10.1016/j.jpaa.2005.09.003. https://archive.org/details/sim_journal-of-pure-and-applied-algebra_2006-09_207_1/page/165.

Hubbuck, John R. (1997), "Numerical forms", Journal of the London Mathematical Society, Series 2, 55 (1): 65–75, doi:10.1112/S0024610796004395, MR 1423286

மேலதிக வாசிப்புக்கு

Narkiewicz, Władysław (1995). Polynomial mappings. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1600. Berlin: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434. Zbl 0829.11002.

[1] Johnson, Keith (2014), "Stable homotopy theory, formal group laws, and integer-valued polynomials", in Fontana, Marco; Frisch, Sophie; Glaz, Sarah (eds.), Commutative Algebra: Recent Advances in Commutative Rings, Integer-Valued Polynomials, and Polynomial Functions, Springer, pp. 213–224, ISBN 9781493909254. See in particular pp. 213–214.

[1]