திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம் (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

1. . B = {i, j, k} என்று கொள்வோம். இங்கு i = (1,0,0), j = (0,1,0) மற்றும் k = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் B நிறைவேற்றுவதால், B ஒரு அடுக்களமாகும். க்கு இந்த அடுக்களத்தை இயற்கை அடுக்களம் என்று சொல்வர்.

2. V = : மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் B ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ B ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim .

அடிப்படை உண்மைகள்[தொகு]

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

  • சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.
  • ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,
ஆகவும், நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால்,
  • Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.
  • n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,
(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;
(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.
  • மற்றும் ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:
(a): நேரியல் சார்பற்றது.
(b): இலுள்ள ஒவ்வொரு க்கும், என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

ஆயத்திசையன்[தொகு]

இதனால் B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

மற்றும், இலுள்ள ஒவ்வொரு க்கும் இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் என்ற கோவை தனிப்பட்டது .

ஒரு அடுக்களம் இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, , என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, இலுள்ள ஒவ்வொரு க்கும், இன் உறுப்புகளின் மூலம் என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு இன் ஆயத்திசையன் (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.
B = எனக்கொள்க. ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
= (2,3,-1) எனக்கொண்டால், = 3(1,1,0) -1(1,0,1) +0(0,1,1)
அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன்
என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் . ஏனென்றால்
(2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை[தொகு]

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால், ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.
என்ற பட்சத்தில், யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
என்ற பட்சத்தில், . அதனால், இல் க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை என்று அழைப்போம். இப்பொழுது ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை[தொகு]

ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். வின் ஒரு அடுக்களமாக ஐக்கொள்க. இப்பொழுது ஐ ( இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

எ.கா.:
இது வில் ஒரு அடுக்களம்.
= ?
= ?
(*) என்றும்
(**) என்றும் கொள்வோமாக.
இல் ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது = ?(1,1) + ?(1,-1).
எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.
=
=
ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு
(*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

துணை நூல்கள்[தொகு]

  • Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
  • V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9