பிழைச் சார்பு

பிழைச் சார்பின் வரைபடம்

கணிதத்தில் பிழைச் சார்பு அல்லது காஸ் பிழைச் சார்பு (error function, Gauss error function) என்பது நிகழ்தகவு, புள்ளியியல் பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erf) :

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erfc) :

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erfi) :

$\operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).$

பிழைச் சார்புக்கும் குவிவுப் பரவல் (cumulative distribution) $\Phi$ க்குமுள்ள தொடர்பு:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left(x/{\sqrt {2}}\right).$

x இன் நேர் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு அளவீடானது, திட்ட விலக்கம் $\sigma$ கொண்டு இயல்நிலைப் பரவலாக அமையும் பிழைகளின் தாக்கத்தால் அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து x க்கும் குறைவான தொலைவிலிருக்கும் என்ற நிகழ்தகவின் மதிப்பை, ${\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}$ இல் கணக்கிடப்படும் பிழைச் சார்பின் மதிப்பானது தருகிறது. புள்ளியியலில், முழுத்தொகுதியின் சராசரியைப் பொறுத்து அம் முழுத்தொகுதியின் எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரியும் எவ்வாறு இருக்கும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள இச் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவிவுப் பரவற் சார்பின் நிரப்புச் சார்பான Q-சார்பின் பயன்பாட்டைப் போல இது அமைகிறது. Q-சார்பைப் பிழைச் சார்பின் மூலமாக எழுத முடியும்.

வரைபடம்

சிக்கலெண் தளத்தில் வரைபடம்

தொகையிடப்படும் சார்பு (Integrand): exp(−z²)

erf(z)

• z ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

$\operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}$

இதில் z இன் இணையியச் சிக்கலெண் ${\overline {z}}$.

படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் ƒ = exp(−z²)மற்றும் ƒ = erf(z) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான z-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.

• Im(ƒ) = 0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
• Im(ƒ) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும்
• Im(f) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
• இடைப்பட்ட Im(ƒ) = மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
• இடைப்பட்ட Re(ƒ) = மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

மெய் அச்சில் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, z → +∞ எனில் 1 ஐயும், z → −∞ எனில் −1 ஐயும் erf(z) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.

பண்புகள்

• பிழைச் சார்பு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.

$\operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)$

• பிழைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் அல்லது டெய்லர் விரிவு:

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$

பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}$

• +∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1

• பிழைச் சார்பின் வகைக்கெழு:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.$

• பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு):

$z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

• நேர்மாறு பிழைச் சார்பு

நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:

$\operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!$

c₀ = 1 மற்றும்

$c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.$

$\operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\$

• நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:

$\operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).$

• நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion):

x இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,

$\mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,$

(2n – 1)!! என்பது (2n – 1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம்.

• தொடரும் பின்ன விரிவு

நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:

$\mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{1}=1,\quad a_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.$

தொடர்புள்ள சார்புகள்

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)$

${\begin{aligned}\mathrm {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}$

Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:

$Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).$

குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

$\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்புகளின் வரைபடம் E_n(x):
சாம்பல் வளைவரை: E₁(x) = (1 − e ^−x)/$\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$
சிவப்பு வளைவரை: E₂(x) = erf(x)
பச்சை வளைவரை: E₃(x)
நீல வளைவரை : E₄(x)
பொன்வண்ண வளைவரை : E₅(x).

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:

$E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.$

• E₀(x) என்பது ஆதிவழிச் செல்லும் கோடு

$\scriptstyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}$

• E₂(x) என்பது பிழைச் சார்பு erf(x).

அட்டவணை

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x) 0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921 0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149 0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949 0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516 0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095 0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095 0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096 0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777 0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795 0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628 0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432 0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885 0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070 0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360 0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343 0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750 0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411 0.85 0.7706681 0.2293319 3.00 0.9999779 0.0000221 0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116 0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060 1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031 1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015 1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007

x erfc(x)/2 1 7.86496e−2 2 2.33887e−3 3 1.10452e−5 4 7.70863e−9 5 7.6873e−13 6 1.07599e−17 7 2.09191e−23 8 5.61215e−30 9 2.06852e−37 10 1.04424e−45 11 7.20433e−55 12 6.78131e−65 13 8.69779e−76 14 1.51861e−87 15 3.6065e−100 16 1.16424e−113 17 5.10614e−128 18 3.04118e−143 19 2.45886e−159 20 2.69793e−176 21 4.01623e−194 22 8.10953e−213 23 2.22063e−232 24 8.24491e−253 25 4.15009e−274 26 2.8316e−296 27 2.61855e−319

மேற்கோள்கள்

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

வெளி இணைப்புகள்

• MathWorld – Erf