பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
நாற்கரம் -ABCD.

வடிவவியலில் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு (Bretschneider's formula) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு. இந்த வாய்ப்பட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:

 K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.

இங்கு a, b, c, d – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், s -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு, மற்றும் \alpha \,, \gamma \, -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள். எதிரெதிர்க் கோணங்கள் \beta \,, \delta \, -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360 என்பதும் cos(\theta) = cos (360 - \theta) என்பதும் உண்மை.

பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர் இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும் இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.

நிறுவல்[தொகு]

நாற்கரத்தின் பரப்பை K எனக் குறித்தால்:

 \begin{align} K &= \text{area of} \triangle ADB + \text{area of} \triangle BDC \\
                        &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. \end{align}
 \begin{align} 2K = a d \sin \alpha + b c \sin \gamma. \end{align}

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

 4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. \, ------(1)

கொசைன் விதிப்படி:

BD^2 = a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \,

a^2 +d^2 -b^2 -c^2 = 2ad \cos \alpha -2bc \cos \gamma, \,

\frac{a^2 +d^2 -b^2 -c^2}{2} = ad \cos \alpha -bc \cos \gamma, \,

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,----------(2)

(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:

4K^2 + \frac{(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2}{4} = (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \,
16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \,
16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd\cdot (2\cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) - 1). \,
16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 + 8abcd - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \,
16K^2 = (2(ad)+2(bc))^2- (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2  - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \,

இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

16K^2 = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).

அரைச்சுற்றளவு:

s = \frac{a+b+c+d}{2}, -ஐப் பயன்படுத்த:
(b+c+d-a) = 2(s-a)
(a+c+d-b) = 2(s-b)
(a+b+d-c) = 2(s-c)
(a+b+c-d) = 2(s-d)

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)
K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:

 K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.

தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள்[தொகு]

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]