பன்னிருகோணம்

ஒழுங்கான பன்னிருகோணி
ஓர் ஒழுங்கான பன்னிருகோணி
வகை	ஒழுங்கான பல்கோணி
விளிம்புகள் மற்றும் உச்சிகள்	12
சிலாஃப்லி குறியீடு	{12} t{6}
கோஎக்சிட்டர்-டின்க்கின் படம்
சமச்சீர் குலம்	ஆரைச் சமச்சீர் (D12)
உட்கோணம் (பாகை)	150°
இருமப் பல்கோணம்	சுயம்
பண்புகள்	குவிவுப் பல்கோணி, வட்டப் பல்கோணி, சம பக்கப் பல்கோணி, சம கோணப் பல்கோணி

வடிவவியலில் பன்னிருகோணம் (dodecagon, 12-gon) என்பது பன்னிரெண்டு பக்கங்களுடைய ஒரு பல்கோணம்.

ஒழுங்கு பன்னிருகோணம்

R பக்கநீளமுள்ள மூன்று சதுரங்களை வெட்டி ஒட்டுவதன்மூலம் R சுற்றுவட்ட ஆரமுள்ள பன்னிருகோணத்தை உருவாக்கலாம். இந்த அமைப்பின்மூலம் பன்னிருகோணியின் பரப்பளவு 3R² என்றுமறியலாம்.

ஒழுங்கு பன்னிருகோணம் என்பது 12 பக்கங்களின் நீளங்களும் சமவளவினதாகவும், 12 உட்கோணங்களின் அளவுகளும் சமமானதாகவுமுள்ளதொரு பன்னிருகோணம் ஆகும். ஒழுங்கு பன்னிருகோணத்திற்கு 12 எதிரொளிப்புச் சமச்சீர் கோடுகள் உண்டு; மேலும்12 ஆம் வரிசை சுழற்சி சமச்சீருடையது; இதன் சிலாஃப்லி குறியீடு {12}. பன்னிருகோணத்தை, துண்டிக்கப்பட்ட அறுகோணம், t{6}, அல்லது இருமுறை துண்டிக்கப்பட்ட முக்கோணம் tt{3} ஆகிய இரண்டுமாக அமைக்கக்கூடும். பன்னிருகோணத்தின் ஒவ்வொரு முனையிலும் அமையும் உட்கோணத்தின் அளவு 150°.

பரப்பளவு

a பக்கவளவுள்ள ஒழுங்கு பன்னிருகோணத்தின் பரப்பளவு:

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}$

பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு r இன் வாயிலாகப் பரப்பளவு::

${\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}$

சுற்றுவட்ட ஆரம் R இன் வாயிலாகப் பரப்பளவு:

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}$

பன்னிருகோணத்தின் இரு இணைபக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் S (பன்னிருகோணத்தின் அளாவல்) ஆனது, பன்னிருகோணத்தின் பக்க நடுக்கோட்டின் நீளத்தைப்போல இருமடங்காக இருக்கும். அளாவல் மற்றும் பக்க நீளத்தின் வாயிலாகப் பரப்பளவு:

$A=3aS$

இதனை $S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})$ என்பதைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கலாம்.

சுற்றளவு

சுற்றுவட்ட ஆரத்தின் வாயிலாக ஒழுங்கு பன்னிருகோணத்தின் சுற்றளவு::

${\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}$

பக்கநடுக்கோட்டின் நீளத்தின் வாயிலாக சுற்றளவு:

${\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}$

இந்தக் குணக எண்ணானது பக்கநடுக்கோட்டளவின் வாயிலாகவுள்ள பரப்பளவு வாய்பாட்டிலுள்ள குணக எண்ணைப்போல இருமடங்கானது.

பன்னிருகோணம் வரைதல்

12 = 2² × 3, என்பதால் ஒரு ஒழுங்கு பன்னிருகோணத்தை கவராயம்-நேர்விளிம்பின் உதவியுடன் வரையலாம்:

தரப்பட்ட சுற்று வட்டத்தில் ஒரு பன்னிருகோணம் வரைதல்

தரப்பட்டப் பக்க அளவைக்கொண்டு ஒரு ஒழுங்கு பன்னிருகோணம் வரைதலின் இயங்குபடம்

கூறாக்கல்

12-கனசதுரம்	60 சாய்சதுரக் கூறாக்கம்

Isotoxal dodecagon

கோஎக்சிட்டரின் கூற்றுப்படி, எதிர்பக்கங்கள் இணையாகவும் சமநீளமுள்ளவையாகமு ஒரு 2m-கோணத்தை m(m-1)/2 இணைகரங்களாகப் பிரிக்கலாம்

குறிப்பாக ஒழுங்கு பல்கோணிகளில் இது உண்மையாக இருக்கும்; மேலும் இணைகரங்களுக்குப் பதிலாக பிரிக்கப்படும் கூறுகள் சாய்சதுரங்களாக இருக்கும். ஒழுங்கு பன்னிருகோணத்தில் m=6 என்பதால் இதனை 15 கூறுகளாக்கலாம்: 3 சதுரங்கள்; 6 அகல 30° சாய்சதுரங்கள்; 6 குறுகிய 15° சாய்சதுரங்கள்.

15 சாய்சதுரக் கூறாக்கல்

6-கனசதுரம்

பிற சீரான கூறாக்கல்கள்

Socolar tiling

மர மாதிரியச்சுகள்

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Dodecagon", MathWorld.
• Kürschak's Tile and Theorem
• Definition and properties of a dodecagon With interactive animation
• The regular dodecagon in the classroom, using pattern blocks