குழிவுச் சார்பு
கணிதத்தில் குழிவுச் சார்பு (concave function) என்பது குவிவுச் சார்பின் கூட்டல் நேர்மாறுச் சார்பு அதாவது எதிர்ச் சார்பு ஆகும். குழிவுச் சார்பை, கீழ்நோக்கு குழிவுச் சார்பு அல்லது மேல்நோக்கு குவிவுச் சார்பு என்றும் அழைக்கலாம்.
வரையறை
[தொகு]ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f : X → R கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும்.
என்பவை X இன் இரு புள்ளிகள்; எனில்:
- திட்டமாக குழிவுச் சார்பு
, எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு (strictly concave) என வரையறுக்கப்படும்.
f:R→R என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் ஆட்களத்தின் x மற்றும் y இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு z க்கும் (z, f(z) ) புள்ளியானது (x, f(x) ) , (y, f(y) ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்கு மேற்புறத்தில் அமையும்.
பண்புகள்
[தொகு]ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது −f(x) குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது f(x) குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்.
ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு f ′ அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் சாய்வு கொண்டிருக்கும்.
இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x), எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.
இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x) இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே f(x) குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல.
f வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்:
C இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு, C இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள் x மற்றும் y க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்:
எடுத்துக்காட்டுகள்
[தொகு]- மற்றும் ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும்.
- நேரியல் சார்பு , குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது.
- இடைவெளியில் குழிவுச் சார்பு.
- சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு ஆனது எதிரிலா-உறுதியான அணி (nonnegative-definite matrix) B இன் அணிக்கோவை.[2]
குறிப்புகள்
[தொகு]- ↑ Varian 1992, ப. 489.
- ↑ Thomas M. Cover and J. A. Thomas (1988). "Determinant inequalities via information theory". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 9 (3): 384–392.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375.
{{cite book}}
: Invalid|ref=harv
(help) - Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 0-470-18352-7.
- Varian, Hal R. (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). W.W. Norton and Company.
{{cite book}}
: Invalid|ref=harv
(help)