குவிவுக் கணம்
யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு பொருள் குவிவு (convex) ஆக இருக்கவேண்டுமாயின் அப்பொருளுக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிப் புள்ளிகளுக்கும், அப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் மீதமையும் எந்தவொரு புள்ளியும் அப்பொருளுக்குள்ளேயே அமைய வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு திடக் கனசதுரம் குவிவானது; பிறை வடிவம் குவிவானது இல்லை. பிற வெளிகளுக்கும் இக்கருத்தைப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.
திசையன் வெளியில்
[தொகு]S என்பது மெய்யெண்களின் மீதானதொரு திசையன் வெளி. இவ்வெளி யூக்ளிய தளங்களையும் உள்ளடக்கியது.
S இல் அமையும் ஒரு கணம் C , குவிவுக் கணம் (convex set) இருக்க வேண்டுமானால் C இல் உள்ள அனைத்து x , y மற்றும் [0,1] இடைவெளியில் அமையும் அனைத்து t க்கும்
- (1 − t ) x + t y புள்ளியானது C இல் இருக்க வேண்டும்.
அதாவது, x , y புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு C க்குள் அமையும்.
மெய்யெண் கணம் R இன் குவிவுக் கணங்கள் அதன் இடைவெளிகளாகும். சீரான பலகோணங்கள், திட முக்கோணங்கள், திட முக்கோணங்களின் வெட்டுப்பகுதிகள் ஆகியவை யூக்ளிடிய தளத்தின் குவிவு உட்கணங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்.
பண்புகள்
[தொகு]ஒரு குவிவுக் கணம்; இன் உறுப்புகள். எதிரிலா எண்கள் மற்றும் எனில்,
- எனும் திசையன் இல் அமையும். இத்தகைய திசையன் ஆகியவற்றின் குவிவுச் சேர்வு எனப்படும்.
வெட்டுக்களும் ஒன்றிணைப்புகளும்
[தொகு]ஒரு திசையன் வெளியின் குவிவு உட்கணங்களின் தொகுப்பிற்குப் பின்வரும் பண்புகள் உண்டு:[1][2]
- வெற்றுக்கணமும் முழு திசையன் வெளியும் குவிவுக் கணங்கள்.
- குவிவுக் கணங்களின் வெட்டுக்கணம் குவிவுக் கணம்.
- குறையாத் தொடர்முறையாகவுள்ள குவிவு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்புக் கணம் குவிவுக் கணம்.
மூன்றாவது பண்பான குறையாத் தொடர்முறையாகவுள்ள குவிவு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பிற்கு உட்பொதிவுள்ள கணங்களாக இருக்க வேண்டியது முக்கியமானது. இரு குவிவுக் கணங்களின் ஒன்றிப்புக் கணம் குவிவுக் கணம் அல்ல.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- ↑ Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinău, 1984 (in Russian).
- ↑ Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. xxii+491. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-16015-6. MR 1461544.
வெளி இணைப்புகள்
[தொகு]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Convex subset", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
- Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.