கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்குதல்

கணிதத்தில் கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்குதல் (Doubling the cube) என்பது நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் கொண்டு தீர்க்க முடியாத மூன்று புகழ்பெற்ற வடிவவியல் கணக்குகளில் ஒன்று. பண்டைய எகிப்திய, கிரேக்க, இந்திய கணிதவியலாளர்கள் இக்கணக்குகளை அறிந்திருந்தனர்.

s அலகு பக்க நீளமுள்ள ஒரு கனசதுரத்தின் கனஅளவு:

$V=s^{3}$

$2V$ கனஅளவுள்ள கனசதுரத்தின் பக்க நீளம்:

$s\cdot {\sqrt[{3}]{2}}$.

ஆனால் ${\sqrt[{3}]{2}}$ ≈ 1.25992105 என்ற எண்ணை நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் கொண்டு வடிவமைக்க இயலாது என்பதால், அதனை பக்க நீளமாகக் கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தையும் நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் கொண்டு வரைதல் இயலாது.

வரலாறு

கிரேக்க நாட்டின் டெலோஸ் தீவில் வாழ்ந்த மக்களுக்கு ஏற்பட்ட பிரச்சனையால் எழுந்ததால் இது டெலிய கணக்கு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. கிரேக்கக் கடவுள் அப்போலோவால் அனுப்பப்பட்ட தொற்றுநோயை முறியடிப்பதற்காக டெலோஸ் நகர மக்கள் டெல்பி பூசாரியிடம் போய் வழி கேட்டதால் உண்டான கணக்கு இது என்ற கருத்து உள்ளது. ஆனால் கிரேக்க வரலாற்றாளர் புளூட்டாக் டெலோசின் மக்கள் தங்களிடையே நிலவிய உள்நாட்டுக் குழப்பங்களைத் தீர்ப்பதற்காக டெல்ஃபியின் பூசாரியிடம் ஆலோசனை கேட்டதாகக் கூறுகிறார். அப்பலோவின் கோவிலின் அளவை இரட்டிப்பாக்கும்படி பூசாரி வாக்குக் கூற, அதன் பொருளை புரிந்து கொள்ள முடியாத மக்கள் பிளாட்டோவின் உதவியை நாடினர். பிளாட்டோ, கனசதுர வடிவிலுள்ள கோவிலை அதைவிட இருமடங்கு அதிக கனஅளவுள்ளதாக மாற்றுங்கள் எனச் சொல்லப்பட்டது, வீணான பிரச்சனைகளில் ஈடுபடாமல் வடிவவியலிலும் கணிதத்திலும் தங்கள் கவனத்தைச் செலுத்தும்படி கடவுள் அவர்களுக்குக் கூறுவதாற்காக என எடுத்துரைத்தார்.

ஹிப்போக்கிரட்டீசால் இக்கணக்கிற்கு தீர்வு காணும் முயற்சியில் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது. ஒரு கோட்டுத்துண்டு மற்றும் அதைப்போல் இருமடங்கு நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு இரண்டின் இடைவிகித சமன் காணும் முறைக்குச் சமானமானதாக அவரது முயற்சி அமைந்திருந்தது.

இது தற்காலக் குறியீட்டில், a மற்றும் 2a அலகு நீளமுள்ள இரு கோட்டுத்துண்டுகள் தரப்பட்டிருப்பின் கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்குதல் என்பது பின்வருமாறு அமையும் நீளங்கள் r மற்றும் s கொண்ட இரு கோட்டுத்துண்டுகளைக் காண்பதாகும்.

$a:r=r:s=s:2a.\$

அதாவது:

$r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}$

ஆனால் 1837 இல் பியாரே வாண்ட்செல் (Pierre Wantzel) 2 இன் கனமூலத்தை வடிவமைக்க முடியாத எண், அதாவது அதனை நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் கொண்டு வடிவமைக்க முடியாது என்பதை நிறுவினார்.

தீர்வுகள்

• கணிதவியலாளர் மெனாக்மஸ், பரவளைவு மற்றும் அதிபரவளைவு ஆகிய இரு கூம்பு வெட்டுகளைக் கொண்டு இக்கணக்கிற்கு ஒரு தீர்வு கண்டுள்ளார்.

மேலும் சில கணிதவியலாளர்களாலும் தீர்வுகள் காணப்பட்டுள்ளன.

• காகிதச் சிற்பக்கலை (Origami) மூலமாகவும் காகிதத்தை மடித்து 2 இன் கனமூலத்தைக் காணலாம்
• அளவுகோலைக் கொண்டு பின்வரும் முறையில் 2 இன் கனமூலத்தைக் காணலாம்:

ஓர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி தரப்பட்ட நீளத்தின் 2 இன் கனமூல மடங்குள்ள நீள அளவைக் கணக்கிட முடியும்.

• ஓர் அளவுகோலில் தரப்பட்ட நீளம், GH குறித்துக் கொள்ள வேண்டும்.
• இந்த அளவைப் பக்க நீளமாகக் கொண்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ABC வரைந்து கொள்ள வேண்டும்.
• AB = BD என்றாவாறு AB ஐ நீட்டிக்க வேண்டும்.
• BC இனை CE என்ற கோடு உருவாகுமாறு நீட்டிக்க வேண்டும்.
• DC இனை CF என்ற கோடு உருவாகுமாறு நீட்டிக்க வேண்டும்.
• அளவுகோலை A வழியே, அதில் குறிக்கப்பட்டள்ள தரப்பட்ட நீளத்தின் ஓர் முனை G ஆனது CF கதிரின் மீதும், மறு முனை H கதிர் CE இன் மீதும் இருக்குமாறு பொருத்த வேண்டும்.

இப்பொழுது,

GH =தரப்பட்ட நீளம்.

AG = தரப்பட்ட நீளத்தினைப் போல் 2 இன் கனமூல மடங்கு

$AG=GH({\sqrt[{3}]{2}}$).

மேலேதரப்பட்டுள்ள தீர்வுகள் எதுவும் நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயம் மட்டும் கொண்டு பெறப்படாமையால் கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்கும் கணக்கு அம்முறையில் இன்னமும் தீர்வு காணப்படாத ஒன்றாகவே உள்ளது.

வெளி இணைப்புகள்

• Doubling the cube. J. J. O'Connor and E. F. Robertson in the MacTutor History of Mathematics archive.
• To Double a Cube – The Solution of Archytas. Excerpted with permission from A History of Greek Mathematics by Sir Thomas Heath.
• Delian Problem Solved. Or Is It? at cut-the-knot.