கணிதத்தில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம் (distance from a point to a line ) என்பது ஒரு புள்ளிக்கும் ஒரு கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும். அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.[ 1] [ 2] [ 3]
[ தொகு ] கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:
ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு :
ax + by + c = 0,a , b , c மெய்யெண்கள் . a , b இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது .)
(x 0 ,y 0 ) என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:
distance
(
a
x
+
b
y
+
c
=
0
,
(
x
0
,
y
0
)
)
=
|
a
x
0
+
b
y
0
+
c
|
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,
தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)
இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.
இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு :
n
−
y
m
−
x
=
b
a
{\displaystyle {\frac {n-y}{m-x}}={\frac {b}{a}}\,}
a
(
n
−
y
)
−
b
(
m
−
x
)
=
0
,
{\displaystyle a(n-y)-b(m-x)=0,}
(
a
(
n
−
y
)
−
b
(
m
−
x
)
)
2
=
0
,
{\displaystyle (a(n-y)-b(m-x))^{2}=0,}
a
2
(
n
−
y
)
2
+
b
2
(
m
−
x
)
2
−
2
a
b
(
m
−
x
)
(
n
−
y
)
=
0.
{\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}-2ab(m-x)(n-y)=0.}
a
2
(
n
−
y
)
2
+
b
2
(
m
−
x
)
2
=
2
a
b
(
m
−
x
)
(
n
−
y
)
.
{\displaystyle a^{2}(n-y)^{2}+b^{2}(m-x)^{2}=2ab(m-x)(n-y).}
மேலும்,
[
a
(
m
−
x
)
+
b
(
n
−
y
)
]
2
=
a
2
(
m
−
x
)
2
+
b
2
(
n
−
y
)
2
+
2
a
b
(
m
−
x
)
(
n
−
y
)
,
{\displaystyle [a(m-x)+b(n-y)]^{2}=a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}+2ab(m-x)(n-y),}
a
2
(
m
−
x
)
2
+
b
2
(
n
−
y
)
2
=
[
a
(
m
−
x
)
+
b
(
n
−
y
)
]
2
−
2
a
b
(
m
−
x
)
(
n
−
y
)
,
{\displaystyle a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}-2ab(m-x)(n-y),}
(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:
(
a
2
+
b
2
)
(
(
m
−
x
)
2
+
(
n
−
y
)
2
)
=
[
a
(
m
−
x
)
+
b
(
n
−
y
)
]
2
=
(
a
m
+
b
n
+
c
)
2
.
{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((m-x)^{2}+(n-y)^{2})=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=(am+bn+c)^{2}.}
[
(
m
−
x
)
2
+
(
n
−
y
)
2
]
=
(
a
m
+
b
n
+
c
)
2
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle [(m-x)^{2}+(n-y)^{2}]={\frac {(am+bn+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}
(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:
d
=
(
m
−
x
)
2
+
(
n
−
y
)
2
{\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}}
ஃ
d
=
(
m
−
x
)
2
+
(
n
−
y
)
2
=
|
a
m
+
b
n
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle d={\sqrt {(m-x)^{2}+(n-y)^{2}}}={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)
தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.
S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).
S -லிருந்து ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0
y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:
|
c
−
d
b
|
=
|
a
m
+
b
n
+
c
b
|
{\displaystyle |{\frac {c-d}{b}}|=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}
முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம் . அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்:
G
F
=
|
a
m
+
b
n
+
c
b
|
{\displaystyle GF=|{\frac {am+bn+c}{b}}|\,}
இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
ஃ
S
G
=
|
a
m
+
b
n
+
c
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle SG={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\,}
திசையன்கள் மூலம் தரப்படும் விளக்கம். கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:
x
=
a
+
t
n
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }
இங்கு n அலகு திசையன் .
ஏதாவது ஒரு புள்ளி p
distance
(
x
=
a
+
t
n
,
p
)
=
‖
(
a
−
p
)
−
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
‖
.
{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
p a
(
a
−
p
)
⋅
n
{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
அதாவது
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத் திசையில்
a
−
p
{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
(
a
−
p
)
−
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
எனவே இத்திசையனின் அளவே p
distance
(
x
=
a
+
t
n
,
p
)
=
‖
(
a
−
p
)
−
(
(
a
−
p
)
⋅
n
)
n
‖
.
{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
![{\displaystyle [a(m-x)+b(n-y)]^{2}=a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}+2ab(m-x)(n-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dfa851e47848eeb6b4294944694e050412a412)
![{\displaystyle a^{2}(m-x)^{2}+b^{2}(n-y)^{2}=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}-2ab(m-x)(n-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06fea8db18d43e94479780dc90697399e939f71)
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((m-x)^{2}+(n-y)^{2})=[a(m-x)+b(n-y)]^{2}=(am+bn+c)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f2ba50ebb5663acfec8ecf579da3c5abf19684)
![{\displaystyle [(m-x)^{2}+(n-y)^{2}]={\frac {(am+bn+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71298d9c37a599f3e6bdf454f1446b45d445d0e2)
