கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (power series ) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
c
)
1
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}}
+
a
2
(
x
−
c
)
2
+
a
3
(
x
−
c
)
3
+
⋯
{\displaystyle +a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.
இதில்:
an n ஆம் உறுப்பின் கெழு;c ஒரு மாறிலி ;x ஆனது c இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.பெரும்பாலான சமயங்களில் c இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}
அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் n +1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
c
=
0
{\displaystyle c=0}
f
(
x
)
=
3
+
2
x
+
1
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
+
⋯
{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}
அல்லது மையத்தை
c
=
1
{\displaystyle c=1}
f
(
x
)
=
6
+
4
(
x
−
1
)
+
1
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}
+
0
(
x
−
1
)
3
+
0
(
x
−
1
)
4
+
⋯
{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
,
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
சைன் சார்பின் தொடர்:
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
,
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:
1
+
x
−
1
+
x
−
2
+
⋯
{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
இதேபோல
x
1
/
2
{\displaystyle x^{1/2}}
x
{\displaystyle x}
sin
(
x
)
x
+
sin
(
2
x
)
x
2
+
sin
(
3
x
)
x
3
+
⋯
{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}
[ தொகு ] f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}
f
(
x
)
±
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
n
±
b
n
)
(
x
−
c
)
n
.
{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}
[ தொகு ]
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
)
(
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
)
{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}
=
∑
i
=
0
∞
∑
j
=
0
∞
a
i
b
j
(
x
−
c
)
i
+
j
{\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}
=
∑
n
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
)
(
x
−
c
)
n
.
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
=
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}
f
(
x
)
=
(
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
)
(
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
c
)
n
)
{\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}
[ தொகு ] அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு
f
′
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
(
x
−
c
)
n
−
1
=
∑
n
=
0
∞
a
n
+
1
(
n
+
1
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
∫
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
+
1
n
+
1
+
k
=
∑
n
=
1
∞
a
n
−
1
(
x
−
c
)
n
n
+
k
.
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}
