அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (power series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:

an n ஆம் உறுப்பின் கெழு;
c ஒரு மாறிலி;
x ஆனது c இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.

பெரும்பாலான சமயங்களில் c இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் n+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).
f(x) = x^2 + 2x + 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் c=0 எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:
f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

அல்லது மையத்தை c=1 எனக்கொண்டால்:

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,
 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,, இவ் வாய்ப்பாடு |x|<1 எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.
 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

சைன் சார்பின் தொடர்:

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots, இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:

1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots

இதேபோல x^{1/2} போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி x ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,

கணிதச் செயல்கள்[தொகு]

கூட்டலும் கழித்தலும்[தொகு]

f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n எனில்:
f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

பெருக்கலும் வகுத்தலும்[தொகு]

 f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.


 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n
 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

வகையிடலும் தொகையிடலும்[தொகு]

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]