பகாச் சீர்மம்

இயற்கணிதத்தில் பகாச் சீர்மம் (prime ideal) என்பது ஒரு சிறப்பு வகைச் சீர்மமாகும். இவை, ஒரு முழு எண் வளையத்திலுள்ள ஒரு பகா எண்ணுக்குரிய பண்புகளைக் கொண்டமைகின்ற சீர்மங்களாகும்.^[1]^[2]

ஒரு வளையத்தின் ( $R$ ) ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனானது அவ்வளையத்தின் ஒரு தகு சீர்மம் $P$ இன் உறுப்பாக இருந்து, அவ்விரு உறுப்புகளில் ஏதேனுமொன்று $P$ இன் உறுப்பாகவும் அமைந்தால், அச்சீர்மம், பகாச் சீர்மம் என அழைக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு:

R=\mathbb {Z} ,

வளையத்தின் ஒரு சீர்மம்:

I=3Z=\{\pm 3,\pm 6,\pm 9....\}

. இது ஒரு பகாச் சீர்மம் ஆகும். ஏனெனில்:

2,3\in Z

எனில், 2, 3 இன் பெருக்குதொகை 6

\in 3Z

. மேலும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு எண்களிலொன்றான

3\in 3Z

.

முழுஎண்கள் வளையத்தின் பகாச் சீர்மங்கள், ஏதாவதொரு பகாஎண்ணின் மடங்குளையும் சுழியச் சீர்மத்தையும் உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும், பகாச் சீர்மங்கள், முதனிலைச் சீர்மங்களாகவும், அரைப்பகாச் சீர்மங்களாகவும் அமையும்.

பரிமாற்று வளையங்களின் பகாச்சீர்மங்கள்[தொகு]

வரையறை[தொகு]

$R$ என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் ஒரு சீர்மம் $P$ ஆனது பகாச்சீர்மமாக இருக்கவேண்டுமெனில் அது கீழுள்ள பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்:

$a$ , $b$ இரண்டும் $R$ இன் இரு உறுப்புகள். மேலும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் $ab$ ஆனது $P$ இன் ஓருறுப்பு எனில், $a$ அல்லது $b$ , $P$ இன் உறுப்பாக இருக்கும்.
$P$ ஆனது $R$ க்குச் சமமானதாக இருக்காது; அதாவது, $P$ ஆனது $R$ இன் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.

மேலுள்ள பகாச் சீர்மத்துக்கான பண்புகள், கீழ்வரும் பகாஎண்களுக்கானப் பண்பினைப் (யூக்ளிடிய முற்கோள்) பொதுமைப்படுத்தலாக அமைவதைக் காணலாம்:

p

ஒரு பகாஎண்.

a

,

b

ஆகிய இரு முழுவெண்களின் பெருக்கற்பலனான

ab

ஐ,

p

வகுக்கிறது எனில்,

p

ஆனது

a

அல்லது

b

ஐ வகுக்கும்.

எனவே இதிலிருந்து பெறப்படும் முடிவு:

\mathbb {Z} .

இன் பகாச் சீர்மமாக

n\mathbb {Z}

'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே',

n

(நேர்ம முழுவெண்) ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்.

அதாவது:

n\mathbb {Z}

ஒரு பகாச்சீர்மம்

\Leftrightarrow

n,

ஒரு பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

$R=\mathbb {Z} ,$ வளையத்தில் இரட்டை எண்களின் உட்கணமானது ஒரு பகாச் சீர்மம்.
$R$ என்ற முழு ஆட்களத்தின் பகா உறுப்பு $p\in R$ ஆனது, முதன்மை பகாச் சீர்மத்தைப் ( $(p)$ ) பிறப்பிக்கும்.
சிக்கலெண் கெழுக்களுடன் இரு மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம் $\mathbb {C} [X,Y]$ என்பதை $R$ குறிக்குமானால், $Y 2 - X 3 - X - 1$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையால் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச் சீர்மமாக இருக்கும்.
$\mathbb {Z} [X]$ என்ற முழுஎண் கெழுக்களைக்கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில், $2$ மற்றும் $X$ ஆல் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச்சீர்மமாக இருக்கும். அப்பகாச்சீர்மத்திலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எல்லாவற்றிலும் மாறிலிக் கெழு இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.