முடிவிலி

வெவ்வேறு எழுத்துருக்களில் முடிவிலி

முடிவிலி என்ற கருத்து கணிதத்துக்கே, கணிதத்துக்கென்றே, கணிதத்தாலேயே உருவாக்கப்பட்ட கருத்து. $\infty$ என்ற குறியீட்டால் அது குறிக்கப்பட்டு பேசப்படுவதால் அதை 1,2,3, ... போன்று ஒரு எண்ணாக நினைப்பது தவறு. முடிவிலி ஒரு எண்ணல்ல.

முடிவிலி ஒரு எண்ணல்ல

தொடர்வு (Sequence)களை முடிவுறு தொடர்வு என்றும் முடிவுறாத் தொடர்வு என்றும் இருவகைப்படுத்தலாம்.முடிவுறு தொடர்வு என்பது முடிவு தெரிந்த (அல்லது தெரியப்படுத்தப்பட்ட) தொடர்வு என்று கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

• 1, 2, 3, ..., 10.

என்ற தொடர்வில் 10 உறுப்புகள் உள்ளன.

• $a_1, a_2, a_3, .... a_{100}$

என்ற தொடர்வில் 100 உறுப்புகள் உள்ளன.

இவை முடிவுறு தொடர்கள் எனப்படும். மாறாக,

• 1,2,3, ...

என்று முடிவே இல்லாமல் இருக்கும் தொடர்வு முடிவுறாத்தொடர்வு. இத்தொடர்வில் எவ்வளவு உறுப்புக்கள் உள்ளன என்ற கேள்வி எளிதான கேள்வி அல்ல. 'முடிவிலி' எண்கள் உள்ளன என்று சொல்வதோ அல்லது $\infty$ என்று சொல்வதோ கணிதமரபில் தவறான செய்கை.

இயற்கணிதத்தில் முடிவிலி

$\infty$ ஒரு எண் அல்ல என்றால் 1,2,3, ... என்ற முடிவுறாத்தொடர்வில் எவ்வளவு உறுப்புக்கள் உள்ளன? கணிதத்தில் இக்கேள்விக்கு விடை என்ன்? ஒரு முடிவிலா கணத்தில் எவ்வளவு உறுப்புக்கள் உள்ளன என்பதை அலசுவதற்குத்தான் எண்ணுறுமை (Countability) எண்ணுறாமை (Uncountability) என்ற கருத்துக்கள் உருவாக்கப்பட்டன.

• 1,2,3, ...

• 2,4,6, ...

• ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

ஆக இந்த மூன்று தொடர்வுகளும் ஒரே "எண்ணளவை" யுள்ள கணங்கள் என்ற கருத்து ஒரு நுண்புலக் கணிதக் கருத்து. இதனுடைய விபரங்களை எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் என்ற கட்டுரையில் காண்க.

பகுவியலில் முடிவிலி

கணிதத்தில் வெகு சரளமாக $x$ என்ற மாறி $\infty$ க்குப்போகிறது என்றும் அதற்குக் குறியீட்டாக

$x \rightarrow \infty$

என்றும் கூறும் வழக்கு உண்டு. இங்கும் $\infty$ என்பதை ஒரு எண்ணாக எடுத்துக் கொள்ள்ளக்கூடாது. x என்ற மாறியின் மதிப்பு அளவிடமுடியாமல் வளர்ந்துகொண்டே போகிறது என்பதைத்தான் இக்குறியீடு சொல்கிறது. இதன் நெளிவு சுளுவுகளை எல்லைப்புள்ளி என்ற கட்டுரையில் காண்க. எல்லை, எல்லைப்புள்ளி என்ற கருத்துக்களின் அடிப்படையில் தான் பகுவியலும் , பகுவியலைப் பயன்படுத்தும் அத்தனை பயன்பாடுகளும் செயல்படுகின்றன.