அடுக்குச் சராசரி

கணிதத்தில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி (generalized mean) அல்லது அடுக்குச் சராசரி (power mean) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.

வரையறை

p ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், $x_1,\dots,x_n$ என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் p -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}$

p -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:

$M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$

மேலும் $w=\sum w_i$ என அமையும் நேர்ம எடைகள் $w_i$ -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}$

$M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[w]{\prod_{j=1}^n x_j^{w_j}}$

இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:

அதாவது, $\sum_{i=1}^n {w_i} = 1$

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}$

$M_0(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}$

சம எடைகள் ( 1/n) கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).

$M_\infty (x_1,\dots,x_n)=\max(x_1,\dots,x_n)$

$M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min(x_1,\dots,x_n)$

சிறப்பு வகைகள்

n=2-வகையின் படவிளக்கம்.

$\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}$	சிறும மதிப்பு
$M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$	இசைச் சராசரி
$\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$	பெருக்கல் சராசரி
$M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$	கூட்டல் சராசரி
$M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$	இருபடிச் சராசரி
$\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}$	பெரும மதிப்பு

பண்புகள்

• எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.

b ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.

$M_p(bx_1,\dots,bx_n)$ = $bM_p(x_1,\dots,x_n)$

• $M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))$

சமனின்மை

p < q எனில்,

$M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)$

$x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே$M_p$, $M_q$ இரண்டும் சமம்.

p -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,

குறிப்பாக $p\in\{-1, 0, 1\}$ எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,

$w_i\in (0;1]$

$\sum_{i=1}^nw_i=1$ எனவும்,

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ $w_i=\frac{1}{n}$ எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.

எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

p மற்றும் q எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

இதிலிருந்து

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}$ என எழுதலாம்.

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):

$\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}$

எனவே அடுக்குகள், −p மற்றும் −q -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை

q அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$...................(q -நேர்மம்).

$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$.....................(q -எதிர்மம்).

இருபுறமும் அடுக்கு q -க்கு உயர்த்த:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

$\sum_{i=1}^nw_ix_i^q \leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q}$

இவ்விரண்டும் $x_i^q$ என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:

$\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)$

$\log \left( \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \right) \leq \log \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)$

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i$

எனவே எந்தவொரு நேர்ம q - மதிப்பிற்கும்:

$\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.

இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

p < q - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

p எதிர்மம், q நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

p , q இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:

$f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},$ $f(x)=x^{\frac{q}{p}}$.

f அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:

$f''(x) = \left(\frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p}-1 \right)x^{\frac{q}{p}-2},$

f -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் q > p என்பதால் f குவிச் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:

$f \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p \right) \leq \sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)$

$\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

இருபுறமும் 1/q அடுக்குக்கு உயர்த்த:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, p , q -க்குப் பதிலாக முறையே −q and −p, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை p , q இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.

பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.

$\begin{align} & \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \end{align}$

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:

$\lim_{p\to0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)$

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாஸ்பிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:

$\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'=$

$=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)$

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:

$\begin{align} & \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} \exp\left(\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right) \\ & = \exp\left(\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=\exp\left(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\right)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \end{align}$

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.

சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு

அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, $- \infty$ மற்றும் $+\infty$ -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.

அனைத்து x_i -களில் பெரும மதிப்பு - x₁, சிறும மதிப்பு - x_n என்க.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:

$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=0$

p நேர்மம் எனில்:

$\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\right)=\ln(1)=0$

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:

$\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)=\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\right)+\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1)$ என நிறுவலாம்.

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

$\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\left(\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=\exp\left(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_1$

p எதிர்மம் என்க:

$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)\right)=0$

p < 0 எனில்:

$\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\right) \geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0$

எனவே:

$\lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\right)+\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\right)=\ln(x_n)$

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

$\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\left(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_n$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$-சராசரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட $f$- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

$M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)$

வெளி இணைப்புகள்

• Power mean at MathWorld
• Examples of Generalized Mean
• A proof of the Generalized Mean on PlanetMath