கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
n மிக அதிகமாகும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் வடிவம் காசியன் வளைவரையைப் போல மாறுகிறது. கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான புள்ளியியலின் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் , டி மாவர் - லாப்லாசு தேற்றம் (de Moivre–Laplace theorem ) ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலானது சில நிபந்தனைகளின் கீழ் எவ்வாறு இயல்நிலைப் பரவலாக மாறுகிறது என்பதைப் பற்றிக் கூறுகிறது. இத்தேற்றம் மைய எல்லைத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்.
இத்தேற்றத்தின் கூற்றின்படி, n பெர்னெளலி முயற்சிகளில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p எனவும், கிடைக்கக் கூடிய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறியாகவும் எடுத்துக் கொண்டால் அச்சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவுப் பரவல் ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலாகும். இப்பரவலின் சராசரி np , திட்டவிலக்கம்
n
p
q
{\displaystyle {\sqrt {npq}}}
n ன் மதிப்பு மிக அதிகமாகும்போது இன்னும் சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு ஈருறுப்பு பரவல் , இயல்நிலைப் பரவலாகத் தோராயப்படுத்தப்படுகிறது.
டி மாவரின், தி டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ் (The Doctrine of Chances) புத்தகத்தின் இரண்டாம் பதிப்பில் இத்தேற்றம் வெளியானது. அப்புத்தகத்தில் பெர்னெளலியின் முயற்சிகள் என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படவில்லையென்றாலும் ஒரு நாணயத்தை 3600 முறை சுண்டும்போது கிடைக்கக் கூடிய தலைகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவுப் பரவலைப் பற்றி டி மாவர் குறிப்பிட்டு எழுதியுள்ளார்.[ 1]
n ன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது np ன் அண்மைப்பகுதியில் அமையும் k க்கு[ 2] [ 3]
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
1
2
π
n
p
q
e
−
(
k
−
n
p
)
2
/
(
2
n
p
q
)
,
p
+
q
=
1
,
p
>
0
,
q
>
0
{\displaystyle {n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\,e^{-(k-np)^{2}/(2npq)},\quad p+q=1,\ p>0,\ q>0}
அதாவது,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
ஸ்டெர்லிங் சூத்திரப்படி ஒரு மிகப் பெரிய எண்ணின் தொடர் பெருக்கலைக் கீழ்க்கண்டவாறு தோரயப்படுத்தலாம்.
n
!
≃
2
π
n
(
n
e
)
n
, as n
→
∞
{\displaystyle n!\simeq {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\text{ , as n}}\rightarrow \infty }
அல்லது:
n
!
≃
n
n
e
−
n
2
π
n
, as n
→
∞
.
{\displaystyle n!\simeq n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}{\text{ , as n}}\rightarrow \infty .}
எனவே
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
p
k
q
n
−
k
≃
n
n
e
−
n
2
π
n
k
k
e
−
k
2
π
k
(
n
−
k
)
n
−
k
e
−
(
n
−
k
)
2
π
(
n
−
k
)
p
k
q
n
−
k
=
[
2
π
n
2
π
k
2
π
(
n
−
k
)
]
[
n
n
k
k
(
n
−
k
)
n
−
k
]
[
e
−
n
e
−
k
e
−
(
n
−
k
)
]
p
k
q
n
−
k
=
[
n
k
2
π
(
n
−
k
)
]
[
n
n
k
k
(
n
−
k
)
n
−
k
]
[
e
−
n
e
−
k
e
−
n
e
k
]
p
k
q
n
−
k
=
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
n
n
(
p
k
)
k
(
q
n
−
k
)
(
n
−
k
)
]
e
−
n
+
k
+
n
−
k
=
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
n
n
−
k
+
k
(
p
k
)
k
(
q
n
−
k
)
(
n
−
k
)
]
=
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
n
n
−
k
n
k
(
p
k
)
k
(
q
n
−
k
)
(
n
−
k
)
]
=
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
(
n
p
k
)
k
(
n
q
n
−
k
)
(
n
−
k
)
]
=
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
(
k
n
p
)
−
k
(
n
−
k
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}&={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}p^{k}q^{n-k}\\&\simeq {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}{(n-k)}^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {2\pi n}}{{\sqrt {2\pi k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-(n-k)}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-n}{e}^{k}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]e^{-n+k+n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k+k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k}n^{k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {np}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {nq}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {k}{np}}\right)}^{-k}{\left({\frac {n-k}{nq}}\right)}^{-(n-k)}\right]\\\end{aligned}}}
,இப்பொழுது
x
=
(
k
−
n
p
)
n
p
q
{\displaystyle x={\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}}
⇒
k
=
n
p
+
x
n
p
q
{\displaystyle \Rightarrow \ k=np+x{\sqrt {npq}}}
ஃ
n
−
k
=
n
q
−
x
n
p
q
{\displaystyle n-k=nq-x{\sqrt {npq}}}
⇒
k
n
p
=
1
+
x
q
n
p
{\displaystyle \Rightarrow \ {\frac {k}{np}}=1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}}
n
−
k
n
q
=
1
−
x
p
n
q
{\displaystyle {\frac {n-k}{nq}}=1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}}
⇒
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
[
n
2
π
k
(
n
−
k
)
]
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle \Rightarrow \ {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq \left[{\sqrt {\frac {n}{2{\mathbf {\pi } }k(n-k)}}}\right]\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]}
n
2
π
k
(
n
−
k
)
=
n
2
π
k
(
n
−
k
)
×
1
/
n
2
1
/
n
2
=
1
/
n
2
π
k
(
n
−
k
)
/
n
2
=
1
/
n
2
π
k
n
(
n
−
k
)
n
=
1
/
n
2
π
k
n
(
1
−
k
n
)
=
1
/
n
2
π
p
(
1
−
p
)
[
∵
k
→
n
p
⇒
k
n
→
p
]
=
1
/
n
2
π
p
q
[
∵
p
+
q
=
1
⇒
q
=
1
−
p
]
=
1
2
π
n
p
q
=
1
2
π
n
p
q
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}&={\sqrt {{\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}\times {\frac {{1}/{n^{2}}}{{1}/{n^{2}}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{{2\pi k(n-k)}/{n^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}{\frac {(n-k)}{n}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi p\left(1-p\right)}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because k\to np\Rightarrow {\frac {k}{n}}\to p\right]\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi pq}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because p+q=1\Rightarrow q=1-p\right]\\&={\sqrt {\frac {1}{2\pi npq}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\\\end{aligned}}}
⇒
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
1
2
π
n
p
q
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]}
e
ln
(
y
)
=
y
{\displaystyle e^{\ln(y)}=y}
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
=
e
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]=e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}}
⇒
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
1
2
π
n
p
q
e
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}}
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
=
ln
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
+
ln
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
=
−
k
ln
(
1
+
x
q
n
p
)
−
(
n
−
k
)
ln
(
1
−
x
p
n
q
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]&=\ln {\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}+\ln {\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\\&=-k\ln \left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)-\left(n-k\right)\ln \left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)\\\end{aligned}}}
பின்வரும் மடக்கை விரிவுகளைப் பயன்படுத்த:-
ln
(
1
+
y
)
=
y
−
y
2
2
+
y
3
3
−
y
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln \left(1+y\right)=y-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}+\cdots }
ln
(
1
−
y
)
=
−
y
−
y
2
2
−
y
3
3
−
y
4
4
−
⋯
{\displaystyle \ln \left(1-y\right)=-y-{\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}-\cdots }
⇒
ln
(
1
+
x
q
n
p
)
=
x
q
n
p
−
x
2
q
2
n
p
+
⋯
{\displaystyle \Rightarrow \ln \left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)=x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots }
ln
(
1
−
x
p
n
q
)
=
−
x
p
n
q
−
x
2
p
2
n
q
−
⋯
{\displaystyle \ln \left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)=-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots }
⇒
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
=
−
k
(
x
q
n
p
−
x
2
q
2
n
p
+
⋯
)
−
(
n
−
k
)
(
−
x
p
n
q
−
x
2
p
2
n
q
−
⋯
)
=
−
(
n
p
+
x
n
p
q
)
(
x
q
n
p
−
x
2
q
2
n
p
+
⋯
)
−
(
n
q
−
x
n
p
q
)
(
−
x
p
n
q
−
x
2
p
2
n
q
−
⋯
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-k\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)-\left(n-k\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\&=-\left(np+x{\sqrt {npq}}\right)\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(nq-x{\sqrt {npq}}\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\\end{aligned}}}
(
k
=
n
p
+
x
n
p
q
{\displaystyle k=np+x{\sqrt {npq}}}
n
−
k
=
n
q
−
x
n
p
q
{\displaystyle n-k=nq-x{\sqrt {npq}}}
⇒
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
=
−
(
n
p
×
x
q
n
p
−
n
p
×
x
2
q
2
n
p
+
x
n
p
q
×
x
q
n
p
−
x
×
x
2
q
2
n
p
+
⋯
)
−
(
−
n
q
×
x
p
n
q
−
n
q
×
x
2
p
2
n
q
+
x
n
p
q
×
x
p
n
q
+
x
n
p
q
×
x
2
p
2
n
q
+
⋯
)
=
−
(
x
n
p
q
−
x
2
q
2
+
x
2
q
+
⋯
)
−
(
−
x
n
p
q
−
x
2
p
2
+
x
2
p
+
⋯
)
=
−
(
x
n
p
q
+
x
2
q
2
+
⋯
)
−
(
−
x
n
p
q
+
x
2
p
2
+
⋯
)
=
−
x
n
p
q
−
x
2
q
2
+
x
n
p
q
−
x
2
p
2
−
⋯
=
−
x
2
q
2
−
x
2
p
2
−
⋯
=
−
x
2
2
(
q
+
p
)
−
⋯
=
−
x
2
2
−
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-\left(np\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-np\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-x\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(-nq\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-nq\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}+x{\sqrt {npq}}\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x^{2}q+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}+x^{2}p+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}q}{2}}+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}p}{2}}+\cdots \right)\\&=-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}q}{2}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}\left(q+p\right)-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-\cdots \\\end{aligned}}}
⇒
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
≃
−
x
2
2
{\displaystyle \Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq -{\frac {x^{2}}{2}}}
⇒
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
1
2
π
n
p
q
e
ln
[
(
1
+
x
q
n
p
)
−
k
(
1
−
x
p
n
q
)
−
(
n
−
k
)
]
≃
1
2
π
n
p
q
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{{-x^{2}}/{2}}}
(n இன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது x இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும் என்பதால் மூன்றுக்கும் அதிகமான x இன் அடுக்குகளை விட்டுவிடலாம்.)
x
=
(
k
−
n
p
)
n
p
q
{\displaystyle x={\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}}
⇒
x
2
2
=
(
(
k
−
n
p
)
n
p
q
)
2
2
=
(
k
−
n
p
)
2
2
n
p
q
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}={\frac {{\left({\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}\right)}^{2}}{2}}={\frac {{\left(k-np\right)}^{2}}{2npq}}}
ஃ
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
≃
1
2
π
n
p
q
e
−
(
k
−
n
p
)
2
/
2
n
p
q
{\displaystyle {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{{-{\left(k-np\right)}^{2}}/{2npq}}}
↑ Walker, Helen M (1985). "De Moivre on the law of normal probability". In Smith, David Eugene (ed.). A source book in mathematics . Dover. p. 78. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0486646904 But altho' the taking an infinite number of Experiments be not practicable, yet the preceding Conclusions may very well be applied to finite numbers, provided they be great, for Instance, if 3600 Experiments be taken, make n = 3600, hence ½n will be = 1800, and ½√n 30, then the Probability of the Event's neither appearing oftner than 1830 times, nor more rarely than 1770, will be 0.682688. ↑ Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", 4th Edition
↑ Feller, W. (1968) An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Volume 1) . Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-25708-7 . Section VII.3
![{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}&={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}p^{k}q^{n-k}\\&\simeq {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}{(n-k)}^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {2\pi n}}{{\sqrt {2\pi k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-(n-k)}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-n}{e}^{k}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]e^{-n+k+n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k+k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k}n^{k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {np}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {nq}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {k}{np}}\right)}^{-k}{\left({\frac {n-k}{nq}}\right)}^{-(n-k)}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c01452b0bcedf65c81d76dc14886c28b0f40dbc)
![{\displaystyle \Rightarrow \ {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq \left[{\sqrt {\frac {n}{2{\mathbf {\pi } }k(n-k)}}}\right]\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab47c645bb2310399d90cf20dfda73b0c4a54879)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}&={\sqrt {{\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}\times {\frac {{1}/{n^{2}}}{{1}/{n^{2}}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{{2\pi k(n-k)}/{n^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}{\frac {(n-k)}{n}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi p\left(1-p\right)}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because k\to np\Rightarrow {\frac {k}{n}}\to p\right]\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi pq}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because p+q=1\Rightarrow q=1-p\right]\\&={\sqrt {\frac {1}{2\pi npq}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc15945f9e36f126bd8c86cce816ed9c8d21c9f)
![{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d2048cab4deb2d06267d210aa3e9647d713497)
![{\displaystyle \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]=e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bcac92942e50b71de1ec326217139c115466fd)
![{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f544103b8b240b562d741f6de37faf1ec29e68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]&=\ln {\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}+\ln {\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\\&=-k\ln \left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)-\left(n-k\right)\ln \left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b801d4128a23e493b0dbb16067c09f356dac89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-k\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)-\left(n-k\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\&=-\left(np+x{\sqrt {npq}}\right)\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(nq-x{\sqrt {npq}}\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a03b02cb419c42cc3d5b759310393dbec9711b9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-\left(np\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-np\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-x\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(-nq\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-nq\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}+x{\sqrt {npq}}\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x^{2}q+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}+x^{2}p+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}q}{2}}+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}p}{2}}+\cdots \right)\\&=-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}q}{2}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}\left(q+p\right)-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-\cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ed681b36ca6d0e794ca9473afc0e93fbe2db3e)
![{\displaystyle \Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq -{\frac {x^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcbc7a55c729571035b17a62ecc8a0318ed9e32)
![{\displaystyle \Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{{-x^{2}}/{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6affc79f7aac0984bec3a9bb3eb22636409222ee)
