செங்குத்து அணி: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

12:30, 21 ஆகத்து 2007 இல் நிலவும் திருத்தம்

கணிதத்தில் எண்களை அணியாய் வகுத்து அவ்வணிகளை எண்களைப்போல் இயற்கணிதத்துக்கு உட்படுத்தலாம் என்ற கருத்து 19வது நூற்றாண்டிலிருந்து செயல்படத் துவங்கியது. அணிக்கோட்பாடு என்ற இன்றைய கணிதப்பிரிவு கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் பயன்படும் ஒரு சாதனம். அணிக்கோட்பாட்டில் பற்பல சிறப்பு வாய்ந்த அணிவகைகள் பேசப்படுகின்றன. அவைகளில் ஒன்றுதான் செங்குத்து அணி (Orthogonal Matrix).

இடமாற்று அணி

ஒரு சதுர அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = ( $a_{i,j}$ )^T = ( $a_{j,i}$ ) என்றும் எழுதலாம்.

செங்குத்து அணியின் வரையறை

மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்:

M^{T}=M^{-1}

.

இங்கு $M^{-1}$ என்பது M இன் நேர்மாற்று அணி. இதையே

MM^{T}=I=M^{T}M

என்றும் எழுதலாம். இங்கு

I

என்பது முற்றொருமை அணி.

எடுத்துக்காட்டுகள்

${\begin{pmatrix}cos\theta &sin\theta \\-sin\theta &cos\theta \end{pmatrix}}$

${\frac {1}{\surd {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

குறிப்பு1.: செங்குத்து அணிகளெல்லாம் நேர்மாறு உள்ள அணிகள். அதாவது, அவை வழுவிலா அணிகள்.

குறிப்பு2.: மெய்யெண்களுக்குப்பதிலாக சிக்கலெண்களைக் கொண்ட சதுர அணிகளில் செங்குத்து அணிகளை ஒத்த, ஆனால் சிக்கல் எண் நிலைக்காக சிறிது மாறான, பண்பைப் பெற்றிருப்பவைகளை அலகு நிலை அணி (Unitary Matrix) என்பர்.

முக்கிய பண்புகள்

$n\times n$ செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக் குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு $O_{n}(\mathbf {R} ).$

ஒரு செங்குத்து அணியின் அணிக்கோவை (Determinant)= +1 அல்லது -1.

ஒரு $n\times n$ செங்குத்து அணியின் நிரல்கள் (வரிசைகள்) $\mathbf {R} _{n}$ க்கு ஒரு செங்குத்தலகு அடுக்களமாகும் (Orthonormal basis). அதாவது, ஒவ்வொரு நிரல் திசையனுக்கும் நீளம் 1; நிரல் திசையன்கள் நேரியல்சார்பற்றவை.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்

@@ வரிசை 14: / வரிசை 14: @@
 இங்கு <math>M^{-1}</math> என்பது M இன் [[நேர்மாற்று அணி]].
 இதையே
-::<math>MM^T = I = M^T M</math> என்றும் எழுதலம். இங்கு <math>I</math> என்பது முற்றொருமை அணி.
+::<math>MM^T = I = M^T M</math> என்றும் எழுதலாம். இங்கு <math>I</math> என்பது முற்றொருமை அணி.
+==எடுத்துக்காட்டுகள்==
+* <math>\begin{pmatrix}
-எ.கா.:  <math>\begin{pmatrix}
 cos\theta & sin\theta \\
 -sin\theta & cos\theta
+\end{pmatrix}</math>
+*<math>\frac{1}{\surd{2}} \begin{pmatrix}
+& 1 \\
+& -1
+\end{pmatrix}</math>
+*<math>\begin{pmatrix}
+& 0 & 1\\
+& 0 & 0\\
+& 1 & 0
+\end{pmatrix}</math>
+* <math>\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
+& 1 & 1 & 1\\
+& -1 & 1 & -1\\
+& 1 & -1 & -1\\
+& -1 & -1 & 1
 \end{pmatrix}</math>
 '''குறிப்பு'''1.:  செங்குத்து அணிகளெல்லாம் நேர்மாறு உள்ள அணிகள். அதாவது, அவை [[வழுவிலா அணிகள்]].
-'''குறிப்பு'''2.: மெய்யெண்களுக்குப்பதிலாக [[சிக்கலெண்]]களைக் கொண்ட சதுர அணி, இதே பண்பைப் பெற்றிருந்தால் அது '''[[அலகு நிலை அணி]]''' (Unitary Matrix) எனப்படும்.
+'''குறிப்பு'''2.: மெய்யெண்களுக்குப்பதிலாக [[சிக்கலெண்]]களைக் கொண்ட சதுர அணிகளில்  செங்குத்து அணிகளை ஒத்த, ஆனால் சிக்கல் எண் நிலைக்காக சிறிது மாறான,  பண்பைப் பெற்றிருப்பவைகளை  '''[[அலகு நிலை அணி]]''' (Unitary Matrix) என்பர்.
 ==முக்கிய பண்புகள்==
-* <math>n \times n</math> செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு [[குல]]மாகும். இக்குலத்திற்கு  n-கிரமச்[[செங்குத்துக் குலம்]] என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு  <math>O_n(\mathbf{R}).</math>
+* <math>n \times n</math> செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குல]]மாகும். இக்குலத்திற்கு  n-கிரமச்[[செங்குத்துக் குலம்]] என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு  <math>O_n(\mathbf{R}).</math>
 * ஒரு செங்குத்து அணியின் [[அணிக்கோவை]] (Determinant)= +1 அல்லது -1.
-* ஒரு <math>n\times n</math> செங்குத்து அணியின் நிரல்கள் (வரிசைகள்) <math>\mathbf{R}_n</math> க்கு ஒரு [[செங்குத்தலகு அடுக்களமா]]கும் (Orthonormal basis).
+* ஒரு <math>n\times n</math> செங்குத்து அணியின் நிரல்கள் (வரிசைகள்) <math>\mathbf{R}_n</math> க்கு ஒரு [[செங்குத்தலகு அடுக்களமா]]கும் (Orthonormal basis). அதாவது, ஒவ்வொரு நிரல் திசையனுக்கும் நீளம் 1; நிரல் திசையன்கள் [[நேரியல் சார்பின்மை |நேரியல்சார்பற்றவை]].
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
@@ வரிசை 44: / வரிசை 62: @@
 [[பகுப்பு: அணிக்கோட்பாடு]]
 [[en:Orthogonal matrix]]
+[[da:Ortogonal matrix]]
+[[de:Orthogonale Matrix]]
+[[es:Matriz ortogonal]]
+[[fr:Matrice orthogonale]]
+[[it:Matrice ortogonale]]
+[[he:מטריצה אורתוגונלית]]
+[[ja:直交行列]]
+[[hu:Ortogonális mátrix]]
+[[pl:Macierz ortogonalna]]
+[[pt:Matriz ortogonal]]
+[[ru:Ортогональная матрица]]
+[[fi:Ortogonaalinen matriisi]]
+[[ur:قائم الزاویہ (میٹرکس)]]
+[[zh:正交矩阵]]