லெஜாண்டர் குறியீடு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு லெஜாண்டர் குறியீடு (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.

இருபடிய எச்சம்

$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு எண் $x$ க்கு, $a\equiv x^{2}(modp)$ என்ற சமான உறவு.

'$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

'மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம்'

என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

$2\equiv 3^{2}(mod7)\therefore 2,7$ இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.

லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு

a, p இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம் என்பதை $\left({\frac {a}{p}}\right)=+1$ என்றும்

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது என்பதை $\left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ என்றும்

குறிகாட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு

${25}^{2}=13(mod17)\therefore \left({\frac {13}{17}}\right)=+1.$

$x^{2}=5(mod17)$ க்கு தீர்வு கிடையாது. $\therefore \left({\frac {5}{17}}\right)=-1.$

லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்

• $a\equiv b(modp),$ என்றால்

$\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$

• $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
• $a,p$ இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், $\left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=+1$
• $a,p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், $b,p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$

• $\left({\frac {-1}{p}}\right)$ = $(-1)^{(p-1)/2}$ =${\begin{cases}1&ifp\equiv 1(mod4)\\-1&ifp\equiv 3(mod4)\end{cases}}$

• • $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}$

• $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}7{\pmod {8}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 3{\mbox{ or }}5{\pmod {8}}\end{cases}}$
• $\left({\frac {3}{p}}\right)={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}\end{cases}}$
• p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

$\left({\frac {5}{p}}\right)={\begin{cases}1{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}\end{cases}}$

இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்

காஸின் இருபடிய நேர் எதிர்மை இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:

p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,

$\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}$

குறியீட்டின் பயன்பாடு

எ.கா.: $-70,93$ இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:

$\left({\frac {-70}{93}}\right)=\left({\frac {(-1)(7)(2)(5)}{93}}\right)$

= $\left({\frac {-1}{93}}\right)\left({\frac {7}{93}}\right)\left({\frac {2}{93}}\right)\left({\frac {5}{93}}\right)$

$=(-1)^{46}\left({\frac {93}{7}}\right)(-1)^{1081}\left({\frac {93}{5}}\right)=(-1)\times \left({\frac {2}{7}}\right)\left({\frac {3}{5}}\right)=(-1)\times (+1)(-1)=+1$

$\therefore -70,93$ இன் இருபடிய எச்சமே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமானம், மாடுலோ n