நிறைவெண் (கணிதம்)
கணிதத்தில் n என்ற ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும், அதன் காரணிகளின் (1 உள்பட) கூட்டுத்தொகை σ(n) என்று குறிக்கப்படும். அக்காரணிகளில் n ம் ஒன்றாகும். n ஐ நீக்கிவிட்டு மீதமுள்ள எல்லா காரணிகளையும் கூட்டி வரும் தொகை s(n) என்று குறிக்கப்படும். இப்பொழுது மூன்றுவித சூழ்நிலைகள் உருவாகக்கூடும்.
1. σ(n) = 2n ; இதுவே s(n) = n என்பதற்குச் சமம்.
2. σ(n) < 2n ; இதுவே s(n) < n என்பதற்குச் சமம்.
3. σ(n) > 2n ; இதுவே s(n) > n என்பதற்குச் சமம்.
முதல் சூழ்நிலையில் n ஒரு நிறைவெண் (Perfect Number) அல்லது செவ்விய எண் என்றும் இரண்டாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'குறைவெண்' (Deficient number) என்றும், மூன்றாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'மிகையெண்' (Abundant Number) என்றும் பெயர் பெறும். இக்கட்டுரை நிறைவெண் பற்றியது.
எடுத்துக்காட்டுகள்
[தொகு]முதல் நிறைவெண் 6. அதன் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. σ(n) = 12; s(n) = 6.
அடுத்த நிறைவெண் 28. ஏனென்றால், 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28.
அடுத்த நிறைவெண் 496. ஏனென்றால் 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 (OEIS-இல் வரிசை A000396) .
கண்டுபிடிப்பு
[தொகு]முதல் நான்கு நிறைவெண்கள் கிரேக்ககாலத்திலேயே புழங்கப்பட்டவை. நான்காவது நிறைவெண் 8128 என்பதை நிக்கொமாகசு என்ற கிரேக்க அறிவியலர் கி.மு100 இல் கண்டுபிடித்தார்.
1456 -ல், பெயர் அறியப்படாத ஒரு கணிதவியலாளர் ஐந்தாவது செவ்விய எண் 33,550,336 என்பதற்கான குறிப்பை முதலாவதாகப் பதிவு செய்துள்ளார்.[1]
1588 -ல், இத்தாலிய கணிதவியலாளர் பியேட்ரோ கடால்டி, ஆறாவது செவ்விய எண் (8,589,869,056) எனவும்[2] ஏழாவது செவ்விய எண் (137,438,691,328) [3] எனவும் கண்டுபிடித்துள்ளார்.
ஒற்றைப்படை நிறைவெண்கள் உண்டா?
[தொகு]சூன் 2010 வரை 47 நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. அவையெல்லாமே இரட்டைப்படை எண்கள்தாம். ஒரு நிறைவெண் ஒற்றைப்படையாக இருக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை இன்று (2011) வரை யாராலும் விடுவிக்க முடியவில்லை.
இரட்டை நிறைவெண்கள்
[தொகு]முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை யூக்ளிடு கண்டறிந்தார்:
2p−1(2p−1), p ஒரு பகா எண்
- p = 2 எனில்: 21(22−1) = 6
- p = 3 எனில்: 22(23−1) = 28
- p = 5 எனில்: 24(25−1) = 496
- p = 7 எனில்: 26(27−1) = 8128.
இந்நான்கிலும் 2p−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2p−1 பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2p−1(2p−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).
2p−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு துறவி மேரின் மெர்சேன் பெயரால் 2p−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், மெர்சேன் பகா எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும் 2p−1, (p ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 211−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் p -களில், 33 மட்டுமே, 2p−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.
யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான இப்னு அல் ஹேத்தம் ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2p−1(2p−1) (இதில் 2p−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை.[4] 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் ஆய்லர், 2p−1(2p−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம் எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது.
முதல் 48 இரட்டை நிறைவெண்கள்:
- ;
- p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 (OEIS-இல் வரிசை A000043)
.[5]
p = 74207281, 77232917, 82589933 ஆகிய மூன்று மதிப்புக்களுக்கு, மேலும் மூன்று இரட்டை நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பிற நிறைவெண்களுமிருக்கக்கூடும். ஆனால் இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல் திட்டத்தின்மூலம், 109332539 க்குக் குறைவான p இன் மதிப்புகளுக்கு எந்தவொரு நிறைவெண்களும் இல்லையென்பது சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளது. திசம்பர் 2018 வரை, 51 மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது.[6] எனவே அதுவரையிலான கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரட்டை நிறைவெண்களின் எண்ணிக்கையும் 51 ஆகும் (இவற்றுள் மிகப்பெரிய எண், 49,724,095 இலக்கங்கொண்ட 282589932 × (282589933 − 1)). இரட்டை நிறைவெண்களோ அல்லது மெர்சென் பகா எண்களோ முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்விக்கான விடை இன்னமும் அறியப்படவில்லை.
ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2p−1(2p−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2p−1) -வது முக்கோண எண்ணாகவும் 2p−1 -வது அறுகோண எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2p+1)/3) -வது மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்ணாகவும் முதல் 2(p−1)/2, ஒற்றைக் கன எண்களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:
குறிப்புகள்
[தொகு]- ↑ Smith, DE (1958). The History of Mathematics. New York: Dover. p. 21. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20430-8.
- ↑ Peterson, I (2002). Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. p. 132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 8-88358-537-2.
- ↑ Pickover, C (2001). Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. p. 360. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-19-515799-0.
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.
- ↑ GIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27
- ↑ "GIMPS Home". Mersenne.org. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-07-21.
மேற்கோள்கள்
[தொகு]- Euclid, Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
- H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 183 (1941), pp. 98–109.
- R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1937, pp. 69–72.
மேலும் படிப்பதற்கு
[தொகு]- Dickson, L.E.: History of the Theory of Numbers, 1, Chelsea, reprint, 1952.
- Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
- Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", Mathematics of Computation 27, (1973), 951–953.
- Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
- Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
வெளி இணைப்புகள்
[தொகு]- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
- Perfect numbers - History and Theory
- OddPerfect.org பரணிடப்பட்டது 2018-11-06 at the வந்தவழி இயந்திரம் A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers
- Great Internet Mersenne Prime Search[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]
- Perfect Numbers, Math forum at Drexel