சுழலெண்

ஒரு முழு எண்ணின் இலக்கங்களைச் சுழல் வரிசைமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கும் புது எண்கள், மூல எண்ணின் அடுத்தடுத்த மடங்குகளாக அமையுமானால் அம்முழுஎண் சுழலெண் (cyclic number) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: 142857 ஒரு சுழலெண்:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

விளக்கம்

ஒரு எண் சுழலெண்ணாக இருக்கவேண்டுமானல் அதன் தொடர் மடங்குகள் அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்களாக இருக்க வேண்டும்.

எண் 076923 ஒரு சுழலெண் அல்ல. அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்கள் 076923 இன் மடங்குகளாக உள்ளன, ஆனால் அடுத்தடுத்த வரிசையிலான மடங்குகளாக இல்லை:

076923 × 1 = 076923

076923 × 3 = 230769

076923 × 4 = 307692

076923 × 9 = 692307

076923 × 10 = 769230

076923 × 12 = 923076

முன் சுழிகள் அனுமதிக்கப்படாவிட்டால், பதின்மங்களில் 142857 மட்டுமே சுழலெண்ணாக இருக்கும். முன்சுழிகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால் சுழலெண்களின் தொடர்வரிசை:

(10⁶-1) / 7 = 142857 (6 இலக்கங்கள்)

(10¹⁶-1) / 17 = 0588235294117647 (16 இலக்கங்கள்)

(10¹⁸-1) / 19 = 052631578947368421 (18 இலக்கங்கள்)

(10²²-1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 இலக்கங்கள்)

(10²⁸-1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 இலக்கங்கள்)

(10⁴⁶-1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 இலக்கங்கள்)

(10⁵⁸-1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 இலக்கங்கள்)

(10⁶⁰-1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 இலக்கங்கள்)

சுழலெண்களின் வடிவம்

சுழலெண்களின் வடிவம்:

${\frac {b^{p-1}-1}{p}}$

இதில் b -அடிமான எண்; p ஒரு பகா எண் மற்றும் b இன் வகுஎண்ணாக p இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு:

• b = 10, p = 7 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 142857
• b = 12, p = 5 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 2497

p இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாடு சுழலெண்ணைத் தராது.

எடுத்துக்காட்டு:

b = 10, p = 13 என மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடக் கிடைக்கும் எண் 076923076923. இது ஒரு சுழலெண் அல்ல.

• பத்தடிமானத்தில் (b = 10) இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் p இன் முதல் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A001913)

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …

• b = 12 எனில் இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் p இன் முதல் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A019340)

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...

• b = 2 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் p இன் முதல் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A001122)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...

• b = 3 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் p இன் முதல் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A019334)

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

பதினறும எண் முறைமையில் (b = 16) இத்தகைய p இன் மதிப்புகள் இல்லை.

பண்புகள்

• ஒரு சுழலெண் அதன் பிறப்பாக்கி பகாஎண்ணால் பெருக்கப்படும்போது 'அடிமான எண்−1' மதிப்புள்ள இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் விடையாகக் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பத்தடிமானத்தில் சுழலெண் 14287 ஐ அதன் பிறப்பாக்கி 7 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்:

142857 × 7 = 999999.

• 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714+ 2857 = 9999 ...
• அனைத்து சுழலெண்களும் 'அடிமான எண்−1' ஆல் வகுபடும்.

மேலும் படிக்க

• Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111–122.
• Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp. 109–115.
• Leslie, John. "The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....", Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Wells, David; "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers", Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

வெளியிணைப்புகள்

• Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"