ஈருறுப்புச் சார்பு

கணிதத்தில், ஈருறுப்புச் சார்பு (binary function) (இருமாறி சார்பு அல்லது இரண்டு மாறிகளின் சார்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது இரண்டு உள்ளீடுகளைக் கொண்ட சார்பு ஆகும். அதாவது,

$\,f\colon X\times Y\rightarrow Z$ என வரையறுக்கக்கூடியபடி $X,Y,Z$ கணங்கள் இருக்குமானால் $f$ ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பாகும்.

இங்கு $X\times Y$ என்பது $X$, $Y.$இன்கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகும்.

மாற்று வரையறைகள்

• கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்புச் சார்பானது $X\times Y\times Z$ என்ற கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் உட்கணமாகக் கொள்ளப்படுகிறது. இங்கு, $f(x,y)=z$ என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" $(x,y,z)$ ஆனது, சார்பைக் குறிக்கும் உட்கணத்தில் இருக்கும்.

மறுதலையாக, $x\in X$ , $y\in Y$ எனும்போது $(x,y,z)$ ஆனது $R$ இல் உள்ளவாறு ஒரு தனித்துவமான $z\in Z$ "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" $R$ என்ற உட்கணமானது ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பை வரையறுக்கும். மேலும் $f(x,y)$ = $z$ எனவும் வரையறுக்கப்படும்.

• $X\times Y$ இலிருந்து $Z$ க்கு அமைந்த ஒரு எளிய [[சார்பு|சார்பாகவும்]] ஈருறுப்புச் சார்பை வரையறுக்கலாம். இந்த முறையில் வரையறை செய்யும்போதும் $f((x,y))$ க்குப் பதிலாக $f(x,y)$ என்றே எழுதப்படுகிறது. (அதாவது, ஒரே சோடி அடைப்புக்குறிகள் சார்பின் செயற்பாடு, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடியின் அமைப்பு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. )

எடுத்துக்காட்டுகள்

• முழு எண்களின் வகுத்தல் ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பாகும்:

$\mathbb {Z}$ முழு எண்களின் கணம்;

$\mathbb {N} ^{+}$ இயல் எண்களின் கணம் (பூச்சியம் தவிர);

$\mathbb {Q}$ விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனில் வகுத்தல் பின்வரும் ஈருப்புச் சார்பாக அமையும்:

$f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q}$.

• உட்பெருக்கங்கள் ஈருறுப்புச் சார்புகளாக அமையும். மேலும்

$(x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My$ என்றமையும் சார்புகள் ஈருறுப்புச் சார்புகளாகும்.

இங்கு x, y -பொருத்தமான அளவைகொண்ட மெய்-மதிப்பு திசையன்கள்; M ஒரு அணி.

M ஒரு நேர்ம வரைவுள்ள அணி எனில், இச்சார்பு உட்பெருக்கமாக இருக்கும்.

இரு மெய்யெண் மாறிச் சார்புகள்

$\mathbb {R} ^{2}$ இன் உட்கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட சார்புகளும் இரு மாறிகளிலமைந்த சார்புகளாகவே கொள்ளப்படுகின்றன. அதாவது ஒரு சார்பின் ஆட்களம் இரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாக இல்லாவிட்டாலும் அச்சார்பு இரு மாறிகளிலமைந்த சார்பாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சாதாரண சார்புகளுக்கான கட்டுப்பாடுகள்

ஈருறுப்புச் சார்பிலிருந்து ஒரு மாறியிலமைந்த சாதாரண சார்பு ஒன்றைப் பெற முடியும்.

$x\in X$ எனில், $Y$ இலிருந்து $Z$க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு ( $f^{x}$, அல்லது $f(x,\cdot )$):

$f^{x}(y)=f(x,y)$.

*இதேபோல் $y\in Y$ எனில், $X$ இலிருந்து $Z$ க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு ($f_{y}$, அல்லது $f(\cdot ,y)$):

$f_{y}(x)=f(x,y)$ .

பொதுமைப்படுத்தல்கள்

• சார்புகள் தொடர்பான பல்வேறு கருத்துருக்களை ஈருறுப்புச் சார்புகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக,

• ஈருறுப்புச் சார்பான வகுத்தல் ஒரு முழுகோப்பு ஆகும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு இயல் எண்ணின் விகிதமாக எழுதலாம்.

• இதேபோல f ^x மற்றும் f _y இரண்டும் எப்போதும் உள்ளிடு கோப்புகளாக இருப்பதால் வகுத்தல் ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் தனித்தனியாக உள்ளிடு கோப்பாக இருக்கும்.

ஆனால் வகுத்தலானது இரண்டு மாறிகளிலும் ஒரே சமயத்தில் உள்ளிடுகோப்பாக இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு:

f (2,4) = f (1,2).

• பகுதி ஈருறுப்பு சார்புகளையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். இவற்றை குறிப்பிட்ட உள்ளீடு மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

N ஐ பூச்சியம் உட்பட அனைத்து இயல் எண்களின் கணமாக எடுத்துக்கொண்டால், வகுத்தலை Z மற்றும் N இலிருந்து Q க்கு வரையறுக்கப்படும் பகுதி ஈருறுப்புச் சார்பாகக் கொள்ளலாம். ஆனால் இரண்டாவது உள்ளீடு பூச்சியமாக இருக்கும்போது வகுத்தல் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.

• X, Y, மற்றும் Z ஆகிய மூன்றும் சம கணங்களாக இருந்தால் ஈருறுப்புச் செயலியானது ஈருறுப்புச் சார்பாக இருக்கும். இயற்கணித அமைப்புகளை வரையறுக்க ஈருறுப்புச் செயலிகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.