வழுவிலா அணி

வழுவிலா அணி (Non-singular matrix) கணிதத்திலும், கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் உருவாகிற ஒரு கருத்து. அணிக்கோட்பாட்டில், சதுர அணி ஒன்றுக்கு நேர்மாற்று அணி இருக்குமானால் அச்சதுர அணி வழுவிலா அணி எனப்படும்.

துல்லியமான வரையறை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு $n \times n$ சதுர அணி $A$ க்கு

$AB = BA = I_n \$ (இங்கு $I_n$ என்பது $n \times n$ முற்றொருமை அணி; மற்றும் காட்டப்பட்டிருக்கும் பெருக்கல் அணிப்பெருக்கல்) என்ற சமன்பாட்டைச் சரிசெய்யும்படி ஒரு $n \times n$ அணி $B$ இருக்குமானால், அப்பொழுது $A$ நேர்மாறு உள்ளது என்றோ அல்லது வழுவிலாதது என்றோ சொல்லப்படும்.

இச்சூழ்நிலையில் $B$ தனித்தொன்றாகத் தீர்மானிக்கப்பட்டு, $A$ யின் நேர்மாற்று அணி, அல்லது, நேர்மாறு என்று அழைக்கப்படுகிறது.அதற்குக் குறியீடு

$A^{-1}$.

இதன் விளைவாக, அணிக்கோட்பாட்டின் தேற்றங்களிலிருந்து, $A, B$ இரண்டும் ஒரே பரிமாணமுள்ள சதுர அணிகளானால்,

$AB = I \Longleftrightarrow BA = I .$

நேர்மாறு இல்லாத ஒரு சதுர அணியை வழுவுள்ள அணி (Singular matrix) என்றோ சிதைந்த அணி (Degenerate matrix) என்றோ அழைப்போம்.

பொதுவாக இக்கருத்துக்களெல்லாம் மெய்யெண்கள், அல்லது சிக்கலெண்கள் இவைகளை உறுப்புகளாகக்கொண்ட அணிகளுக்கே சொல்லப்பட்டாலும், ஏதாவதொரு வளையத்தில் உறுப்புகளைக்கொண்ட அணிகளுக்கும் இவை பொருந்தும்.

ஒரு வழுவிலா அணியின் நேர்மாற்று அணியைக்கணிக்கும் பிரச்சினை அணிக்கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான பிரச்சினையாகும்.

பொது நேரியற்குலம்

மெய்யெண்களை உறுப்புகளாகக்கொண்ட எல்லா $n \times n$ சதுர அணிகளின் கணத்தை ${M}({n \times n},\mathbf{R})$ என்று குறிப்போம்.

${M}({n \times n},\mathbf{R})$ இல், வழுவிலா அணிகளை மாத்திரம் எடுத்துக்கொண்டால், அவை பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலம் உயர் கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய இடம் வகிக்கிறது. இதற்கு பொது நேரியற்குலம் என்று பெயர். குறியீடு GL(n,$\mathbf{R}$) அல்லது GL_n ($\mathbf{R}$) (General Linear Group over R).

$\mathbf{R}$ க்கு பதில் $\mathbf{C}$ ஐப்பயன்படுத்தினால், GL(n,$\mathbf{C}$) அல்லது GL_n ($\mathbf{C}$) (General Linear Group over C) என்பதும் ஒரு முக்கிய குலமாகும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்‎