தொகையீட்டுச் சமன்பாடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடு (integral equation) என்பது தெரியாத சார்பைத் தொகையீட்டுக் குறியீட்டின்கீழ் கொண்ட ஒரு கணிதச் சமன்பாடாகும். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் நெருங்கிய தொடர்புள்ளது.

கண்ணோட்டம்[தொகு]

  • மிக அடிப்படையான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடுகள் (Fredholm equation) ஆகும்.

முதல் வகை :

 f(x) = \int \limits_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

இங்கு,

φ -தெரியாத ஒரு சார்பு
K -இருமாறிகளில் அமைந்த தெரிந்த சார்பு. இச்சார்பு பெரும்பாலும் கெர்னல் சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது.
தொகையீட்டு எல்லைகள் இரண்டும் மாறிலிகள்

இரண்டாம் வகை:

இவ்வகையில் தொகையீட்டுக்குறிக்கு உள்ளும் புறமும் தெரியாத சார்புகள் அமையும்.

 \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int \limits_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

இங்கு λ தெரியாத காரணி.

  • தொகையீட்டின் எல்லைகள் இரண்டும் சார்புகளாக இருந்தால் மேலே தரப்பட்டுள்ள இரு சமன்பாடுகளும் வோல்டரா தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகை சமன்பாடுகளாக (Volterra integral equation) மாறும்.
 f(x) = \int \limits_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt
 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int \limits_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

மேலே தரப்பட்ட நான்கிலும் சார்பு f பூச்சியத்துக்கு ஒப்பானால் சமன்பாடுகள் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் பூச்சியமாக இல்லையெனில் சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

வகைப்பாடு[தொகு]

தொகையீட்டில் எல்லைகள், தெரியாத சார்பு இடம்பெறும் நிலை மற்றும் தெரிந்த சார்பின் தனமை ஆகிய மூன்று கருத்துக்களைக் கொண்டு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எட்டு வகைச் சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம்:

தொகையீட்டு எல்லைகள்
இரண்டும் மாறிலிகள்: ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடு
ஒரு மாறி: வோல்டெர்ரா சமன்பாடு
தெரியாத சார்புகள் அமையும் இடம்
தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்: முதல் வகை
தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்ளும் வெளியிலும்: இரண்டாம் வகை
தெரிந்த சார்பு f -ன் தன்மை
பூச்சியம்: சமபடித்தானது
பூச்சியம் அல்ல: அசமபடித்தானது

தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமான பல பயன்பாடுகள் கொண்டவை. கதிரியக்கச் சக்தி மாற்றல், கம்பி, அச்சு, சவ்வு போன்றவற்றின் அலைவு ஆகியவற்றில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. அலைவு கணக்குகளுக்கு வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மூலமாகவும் தீர்வு காணப்படலாம்.

சார்பு φ(x) -ன் நேரியல் தன்மையால், ஃபிரெதோல்ம் மற்றும் வோல்டெர்ரா சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகள்.

நேரியலற்ற வோல்டெர்ரா தொகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்:

 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int \limits_a^x K(x,t)\,F(x, t, \varphi(t))\,dt. ,

இங்கு தெரியாத சார்பு -F.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=தொகையீட்டுச்_சமன்பாடு&oldid=1369029" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது