டி மாவரின் வாய்ப்பாடு

கணிதத்தில், டி மாவரின் வாய்ப்பாடு (de Moivre's formula) என்பது,

$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\,$ ஆகும்.

இங்கு x ஒரு சிக்கலெண் (குறிப்பாக மெய்யெண்), n ஒரு முழு எண். பிரஞ்சு கணிதவியலாளர் ஆபிரகாம் டி மாவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதால் இவ்வாய்ப்பாடு அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலெண்களையும் முக்கோணவியலையும் இணைப்பதால் இந்த வாய்ப்பாடு மிகவும் முக்கியம் வாய்ந்ததாக உள்ளது.

சில சமயங்களில் cos x + i sin x என்பது சுருக்கமாக cis x என குறிக்கப்படும்.

இதன் இடதுபுறத்தை விரித்து, ( x மெய்யெண் எனக்கொள்க.) இருபுறமும் உள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை சமப்படுத்துவதன் மூலம் cos (nx) மற்றும் sin (nx) இவற்றுக்கான விரிவுக்கோவைகளைப் பெறாலாம். அக்கோவைகள் cos x மற்றும் sin x களால் ஆனவையாக இருக்கும். மேலும் இவ்வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி 1 ன் n ஆம் படி மூலங்களைக் ( n th roots of unity) காணலாம். அதாவது, zⁿ = 1 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் சிக்கலெண், z ன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

முழுஎண் அல்லாத அடுக்குகளுக்குப் பொருந்தாமை

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு, அடுக்குகள் முழுஎண்களாக இல்லாவிட்டால் பொருந்தாது. முழுஎண்ணல்லாத அடுக்குகளையுடைய சிக்கலெண்களுக்கு பல மதிப்புகள் உண்டு. இவ்வாய்ப்பாட்டினைப் பொதுமைப்படுத்தலின் மூலம் $\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\,$ என்பது $\left(\cos x+i\sin x\right)^n\,$ ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்று என்பதைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

n = ½ எனில் வாய்ப்பாட்டின்படி,

x = 0 எனும்போது 1^½ = 1,

x = 2π எனும்போது 1^½ = −1 என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன.

கோணங்கள் 0 மற்றும் 2π இரண்டும் ஒன்றுதான் என்றாலும் அவை 1 மற்றும் -1 என்ற இரு வேறுபட்ட மதிப்புகளைத் தருகின்றன. பொதுமைப்படுத்தலும் 1ன் வர்க்கமூலங்கள் 1, -1 என்பதை உறுதிப்படுத்துகின்றது.

நிறுவுதல்

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு மூலம்

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி டிமாவரின் வாய்ப்பாட்டை எளிதாக நிறுவலாம்.

ஆயிலர் வாய்ப்பாடு

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

முழுஎண்களுக்கான அடுக்கேற்ற விதிப்படி,

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .$

மீண்டும் ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,$

அதாவது, $\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,$

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டினை ஒரு இயல் எண் அடுக்கிற்கு கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். பின் அதன்மூலம் எல்லா முழு எண் அடுக்குகளுக்கும் நிரூபிக்கலாம்.

• இயல் எண் அடுக்கிற்கு

S(n): $(\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx), n \in \mathbb{Z}$

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறைப்படி n > 0, விற்கு முதலில் நிறுவலாம்.

S(1) என்பது தெளிவாக உண்மையென அறியலாம்.

S(k) உண்மையென எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதாவது,

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,$ என்பது உண்மை.

இப்பொழுது

S(k+1):

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \text{by the induction hypothesis}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \text{by the trigonometric identities} \end{alignat}$

அதாவது S(k) யிலிருந்து S(k+1) கிடைக்கப்பெறுகிறது.

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கையின்படி S(n) அனைத்து இயல் எண் அடுக்குகளுக்கும் உண்மையாகும்.

• பூச்சிய அடுக்கு

S(0): cos (0x) + i sin(0x) = 1 +i 0 = 1, இது உண்மை என்பது தெளிவு.

1. எதிர்ம முழு எண் அடுக்கு

அடுக்கு, ஒரு எதிர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது அதனை, -n என எடுத்துக் கொண்டு இவ்வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம். இங்கு n ஒரு இயல் எண்.

$\begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{-n} & = \left[ \left(\cos x + i\sin x\right)^n \right]^{-1} \\ & = \left[\cos (nx) + i\sin (nx)\right]^{-1} \\ & = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\ \end{align}$

சமன்பாடு (*), $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$, (z = cos nx + i sin nx) என்ற முற்றொருமைச் சமன்பாட்டின் விளைவாகும்.

எனவே S(n), n இன் அனைத்து முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.

கொசைன் மற்றும் சைன் வாய்ப்பாடுகள்

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டின் இருபுறங்களிலும் உள்ள சிக்கலெண்களின் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தி கொசைன், சைன் வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம்.

x, cos x மற்றும் sin x, மெய்யெண்கள் எனில்,

$\begin{alignat}2 \cos(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k}(\sin{x})^{2k}& &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(\cos{x})^{n-2k}((\cos{x})^2-1)^k\\ \sin(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k-1}(\sin{x})^{2k+1}& &=(\sin{x})\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(\cos{x})^{n-2k-1}((\cos{x})^2-1)^k. \end{alignat}$

இவை x சிக்கலெண்ணாக இருந்தாலும் பொருந்தும்.

குறிப்பாக, n = 2 , n = 3:

$\begin{alignat}2 \cos(2x) &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\ \sin(2x) &= 2(\sin{x})(\cos{x})\\ \cos(3x) &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\ \sin(3x) &= 3(\cos{x})^2(\sin{x})-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3.\\ \end{alignat}$

பொதுமைப்படுத்தல்

z மற்றும் w சிக்கலெண்களெனில்

$\left(\cos z + i\sin z\right)^w$, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு. ஆனால்

$\cos (wz) + i \sin (wz)\,$ அப்படியானதல்ல.எனவே

$\cos\left(wz\right)+i\sin\left(wz\right).\,$ என்பது $\left(\cos z+i\sin z\right)^w\,$ ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்றாகும்.

பயன்பாடுகள்

இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சிக்கலெண்னின் n ஆம் படி மூலங்களைக் காணலாம்.

z என்ற சிக்கலெண் போலார் வடிவில் தரப்பட்டுள்ளது.

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

$z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$ (k ஒரு முழுஎண்)

k க்கு 0 விலிருந்து n-1 வரையிலான மதிப்புகளை அளித்து z ன் n மூலங்களையும் பெறலாம்.