சமச்சீர் குலம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் சமச்சீர் குலம் என்பது n பொருள்களின் எல்லா வரிசைமாற்றங்கள் கொண்ட ஒரு கணத்தில் அவ்வரிசைமாற்றங்களுடைய சேர்வையால் வரையறுக்கப்பட்ட குலம் ஆகும். எங்கெல்லாம் சமச்சீர் கருத்து உள்ளதோ அங்கெல்லாம் இக்குலத்தின் தாக்கம் இருக்கும்.

வரிசைமாற்றங்களின் சேர்வை[தொகு]

n உறுப்புகள் உள்ள ஒரு கணத்தின் எல்லா வரிசைமாற்றங்களையும் ஒன்றுக்கொன்று சேர்க்கக்ககூடிய சேர்வை விதி ஒன்றிருக்கிறது.அதாவது, {1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.

\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 4 & 5 & 1 & 3
\end{pmatrix}

என்றால்,

\sigma \circ \tau  = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 1 & 2 & 5 & 3
\end{pmatrix}

அதாவது, முதலில் \tau; பிறகு \sigma. வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. \sigma \circ \tau வை \sigma\tau என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.

சமச்சீர் குலம்[தொகு]

n பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் S_n என்று குறிக்கப்படும். இதனில் n! வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம் (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது n! உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,

e = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 &\dots & n\\
1 & 2 & 3 &\dots & n 
\end{pmatrix}.

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.

எ.கா. ::\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} என்றால் அதன் நேர்மாறு

= \sigma^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}

பரிமாறாக்குலம்[தொகு]

S1, S2 ஐத்தவிர மீதமெல்லா சமச்சீர் குலங்களும் பரிமாறாக் குலங்களே. 6 ஆவது கிரமமுள்ள S3 தான் மீச்சிறு பரிமாறாக்குலம்.

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சமச்சீர்_குலம்&oldid=862762" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது